Aula X - Circuitos Elétricos

Números complexos (imaginários)
$$j = \sqrt{-1}$$


Forma retangular:
$$a + (b)j$$
Forma polar:
$$C \angle{\theta°}$$
Representação gráfica:

Transformação de retangular para polar

$$c^2 = a^2 + b^2 \\ \theta = \tan^{-1}{\dfrac{b}{a}}$$

Exemplo:
$$3 + 4j \\ C = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \\ \theta = \tan^{-1}{\dfrac{4}{3}} \approx 53.1°$$
Na calculadora: aperte Pol, insira o valor real, vírgula, depois o valor imaginário, feche parênteses. Dando ok aparecerá o módulo C. Então apertando RCL e tangente, aparecerá o ângulo theta.

Transformação de polar para retangular
$$\sin{\theta} = \dfrac{b}{C} \\ b = C \sin{\theta}$$

$$\cos{\theta} = \dfrac{a}{C} \\ a = C \cos{\theta}$$
Na calculadora: aperte shift, Pol, insira o valor do módulo C, vírgula, ângulo theta, feche parênteses e dê ok. Aparecerá o valor de A. Apertando RCL e tangente, aparecerá o valor de B.

Operações matemáticas
$$A + a_1 + b_1 j \\ B = a_2 + b_2 j$$

Adição:
$$A+B = (a_1 + b_1 j) + (a_2 + b_2 j) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)j$$

Subtração:
$$A - B = (a_1 + b_1 j) - (a_2 + b_2 j) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)j$$

Multiplicação:
$$D = C_1 \angle{\theta_1} \\ E = C_2 \angle{\theta_2} \\ D \times E = C_1 \angle{\theta_1} \times C_2 \angle{\theta_2} = (C_1 \times C_2) \angle{\theta_1 + \theta_2}$$
Divisão:
$$\dfrac{D}{E} = \dfrac{C_1 \angle{\theta_1}}{C_2 \angle{\theta_2}} = \dfrac{C_1}{C_2} \angle{\theta_1 - \theta_2}$$

Exercícios:
Calcule:
a) $$\dfrac{(2+3j) \times 5\angle{30°}}{2 - 2j + 3 + 5j}$$

Vamos fazer da seguinte forma: é mais fácil multiplicar/dividir usando forma polar e mais fácil somar/subtrair usando forma retangular, então sempre converteremos antes de fazer operações por aí. Lá em cima tem uma multiplicação, então converteremos 2+3j para polar:
$$C_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.605 \\ \theta_1 = \tan^{-1}{\dfrac{3}{2}} \approx 56.31°$$
Lá embaixo está tudo convertido, então vamos continuar:
$$\dfrac{(3.605 \angle{56.31°}) \times (5 \angle{30°})}{2 - 2j + 3 + 5j} = \dfrac{18.025 \angle{86.31°}}{5 + 3j}$$
Convertamos o abaixo novamente:
$$C_2 = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.831 \\ \theta_2 = \tan^{-1}{\dfrac{3}{5}} \approx 30.964°$$
Voltando à conta:
$$\dfrac{18.025 \angle{86.31°}}{5.831 \angle{30.961°}} = 3.091 \angle{55.349°}$$

b) $$\dfrac{(2 + 5j)(3 - 2j)}{(1 + 2j)^2}$$
Ok, às conversões:
$$C_1 = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5.385 \\ \theta_1 = \tan^{-1}{\dfrac{5}{2}} \approx 68.199°$$
$$C_2 = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.605 \\ \theta_2 = \tan^{-1}{\dfrac{-2}{3}} \approx -33.69007°$$
$$C_3 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.236 \\ \theta_3 = \tan^{-1}{\dfrac{2}{1}} \approx 63.435°$$
E sim, fizemos C3 separado sem elevar ao quadrado porque fica melhor de enxergar assim. Veja adiante:
$$\dfrac{5.385 \angle{68.199°} \times 3.605 \angle{-33.6907°}}{2.236 \angle{63.435°} \times 2.236 \angle{63.435°}} = \dfrac{19.412925 \angle{34.5083°}}{4.999696 \angle{126.87°}} \approx 3.883 \angle{-92.3617}$$

Calcule:
$$A = 3 \angle{90°} \\ B = 2 \angle{0°} \\ C = 5 \angle{-90°}$$

a) $$\dfrac{A \times B}{A + B} = \dfrac{3 \angle{90°} \times 2 \angle{0°}}{3 \angle{90°} + 2 \angle{0°}} = \dfrac{6 \angle{90°}}{3j + 2}$$
Agora já vamos usar a calculadora pra converter de retangular pra polar, né. Já deu pra entender como funciona.
$$\dfrac{6 \angle{90°}}{3.605 \angle{56.31°}} = 1.664 \angle{33.69°}$$
b) $$\dfrac{C \times B}{C + B} + A \\ \dfrac{5 \angle{-90} \times 2 \angle{0°}}{-5j + 2} + 3j \approx \dfrac{10 \angle{-90}}{5.385 \angle{-68.199°}} + 3j \approx \\ 1.857 \angle{-21.801°} + 3j \approx 1.724 - 0.6897j + 3j = 1.72 + 2.3103j \approx 2.8803 \angle{53.333°}$$

Senóides e Fasores

$$V = A_m \times \sin{\omega t}$$


Fasores
$$V = A_m \times \sin{(\omega t \pm \theta)}$$
Domínio do tempo.
$$v = A \angle{\pm \theta°}$$
Domínio do fasor.

Não muito bem feito porque, ao contrário do previsto, eu não me lembrei de baixar software de plotar gráfico

$$v_1 = 2 \sin{(\omega t + \theta_1)} \\ v_2 = 1.5 \sin{(\omega t - \theta_2)}$$

Converta os seguintes fasores para o domínio do tempo, caso a frequência seja 60Hz.
a) $$v_1 = 10 \angle{20°}$$
Temos que ômega se torna 2pi vezes a frequência 60Hz. O resto é só usar o que está no exercício:
$$v_1 = 10 \sin{(\omega t + \theta)} = 10 \sin{((2\pi \times 60)t + 20°)} = 10 \sin{(120\pi t + 20°)}$$
b) $$v_2 = 12 \angle{-60°} \\ v_2 = 12 \sin{(120\pi t - 60°)}$$

Determine a defasagem entre as ondas e se i está adiantada ou atrasada em relação a v.
a) i = 2sen(377t - 30°), v = 5sen(377t - 40°)
A corrente i está adiantada com relação a v (-30 > -40), a defasagem (diferença de ângulo entre um e outro) é de 10°.

b) $$i = 3 \sin{(\omega t + 45°)} \\ v = 7 \sin{(\omega t - 35°)}$$
Mais uma vez, i está adiantado com relação a v (45 > -35). A defasagem, no caso, é de 80°.

Aula IX - Circuitos Elétricos

Indutores

Obviamente com muito, mas muito mais espiras

Armazenam energia.

$$V(t) = L \dfrac{dI}{dt} \\ I(t) = \dfrac{1}{L} \int V(t) dt$$

L: indutância. Unidade: henry (H).

Formas de onda

Indutores em série:

$$L_{eq} = L_1 + L_2 + ... + L_n$$


Indutores em paralelo:

$$\dfrac{1}{L_{eq}} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2} + ... + \dfrac{1}{L_n}$$


Exercícios:
A corrente em um indutor de 50H é mostrada no gráfico abaixo. Determine a tensão sobre o indutor:

Ok, esse exercício é extremamente semelhante ao do capacitor feito anteriormente. Vamos traçar uma série de equações de reta pra cada alteração que houver na corrente. A primeira equação é sempre padrão: não temos b porque a equação da reta começa em 0, e analisando o gráfico vemos que em 2 segundos a corrente atinge -10mA, sendo assim em 1 segundo ela atinge -5mA e podemos traçar a primeira equação como i = -5t. Sendo assim:
$$V_1 = L \dfrac{dI}{dt} = 50 \times \dfrac{d}{dt}[-5t] = 50 \times -5 = -250mV$$
Para a segunda, temos uma variação que já não começa em 0, logo b tem algum valor relevante e temos duas incógnitas na função. Sendo assim, façamos aquela análise de sistemas. Primeiro, pegaremos os valores das extremidades: (t, I): (2, -10), (4, 5). Agora, façamos um sistema linear substituindo I e t na equação I = at + b:
$$\begin{cases} -10 = 2a + b \\ 5 = 4a + b \end{cases}$$
Como de praxe, multipliquemos uma das equações por (-1) pra cortar os b. A segunda. Na soma, resta então -10 = 2a e -5 = -4a, que dá -2a = -15, assim a = 7.5. Substituímos a em uma das equações para descobrir b:
$$2 \times 7.5 + b = -10 \\ b = -10 - 15 = -25$$
E temos a equação final:
$$I = 7.5t - 25$$
Que colocaremos na equação da tensão:
$$V_2 = L \dfrac{dI}{dt} = 50 \times 7.5 = 375mV$$
Para a parte entre 4s e 6s, por favor, nem façamos análise. É uma reta constante, então sua derivada é 0, sendo assim a voltagem nesse ponto é 0. Resta então o ponto entre 6 e 8 segundos, que terá análise semelhante ao ponto entre 2 e 4.
Vejamos, os dois valores que podemos usar são: (t, I): (6, 5), (8,0). Sendo assim, o sistema fica:
$$\begin{cases} 5 = 6a + b \\ 0 = 8a + b \end{cases}$$
Multiplicando a equação de baixo por -1, eliminamos b, e sobra pra somar 5 = 6a e 0 = -8a, cujo resultado real é -2a = 5, e a = -2.5. Jogando a numa das equações para descobrir b:
$$8 \times -2.5 + b = 0 \\ b = 20 \\ I = -2.5t + 20$$
Assim, na equação da voltagem temos:
$$V_4 = L \dfrac{dI}{dt} = 50 \times (-25) = -125mV$$

E temos tudo aí. Recapitulando para plotar o gráfico:
Entre 0s e 2s, a tensão é de -250mV.
Entre 2s e 4s, a tensão é de 375mV.
Entre 4s e 6s, a tensão é 0.
Entre 6s e 8s, a tensão é -125mV.
E o gráfico fica:

Encontre a indutância equivalente.

Exercício extremamente simples, mas desenhei os nós pra não enganar ninguém:

Quando os circuitos "se cruzam" mas tem uma dessas curvas no cruzamento, é porque um fio não encosta no outro, assim aquilo no meio não é um nó; entende mais fácil quem já jogou Zelda ou alguns RPGs 2D. Bem, de qualquer forma, bem simples.
Analisando, temos AB em paralelo, BC em paralelo, e AB em série com BC. Jogando tudo nas equações:
$$L_{AB} = \dfrac{6 \times 12}{6+12} = \dfrac{72}{18} = 4H \\ L_{BC} = 2 || 2 = 1H \\ L_{eq} = L_{AB} + L_{BC} = 4 + 1 = 5H$$

Outro bem simples. Com os nós, vemos que os indutores de 2mH e 1mH que estão em série estão em curto. Sendo assim, sobra uma indutância equivalente entre os três de 6mH. E como sabemos, paralelo de valores iguais, você conta quantos dispositivos tem e divide o valor original por esse número. No caso, L = 6/3 = 2mH.

Viu só? Facílimo.

Aula VIII - Circuitos Elétricos

Capacitores
- Função: armazenar carga

$$C = \dfrac{Q}{V} \\ Q = C \times V$$
Onde:
C = capacitância em F (Faraday)
Q = carga em C (Coulombs)
V = tensão em V (Volts)

Temos que:
$$i = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \\ Q = C \times V \\ i = C \dfrac{\Delta V}{\Delta t} \\ i_C = C \dfrac{dV}{dt}$$
Integrando a equação da corrente, temos:
$$\int i_C dt = \int C \dfrac{dV}{dt} \\ \int i dt = C \times V \\ V_C = \dfrac{1}{C} \int i_C dt$$
Tendo:

Capacitância equivalente
Série:

$$V_{eq} = V_1 + V_2 + ... + V_n \\ \dfrac{1}{C_{eq}} \int i dt = \dfrac{1}{C_1} \int i dt + \dfrac{1}{C_2} \int i dt + ... + \dfrac{1}{C_n} \int i dt \\ \dfrac{1}{C_{eq}} \int i dt = (\dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + ... + \dfrac{1}{C_n}) \int i dt \\ \dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + ... + \dfrac{1}{C_n}$$
Paralelo:

$$i_T = i_1 + i_2 + ... + i_n \\ C_{eq} \dfrac{dV}{dt} = C_1 \dfrac{dV}{dt} + C_2 \dfrac{dV}{dt} + ... + C_n \dfrac{dV}{dt} \\ C_{eq} \dfrac{dV}{dt} = (C_1 + C_2 + ... + C_n) \dfrac{dV}{dt} \\ C_{eq} = C_1 + C_2 + ... + C_n$$

Exercícios:
1. Encontre a capacitância equivalente do circuito.

Bem simples. Vamos resolver o que está em paralelo primeiro, depois estabeleceremos uma equação geral pra resistência em série.
$$C_1 = 1+1 = 2 \mu F \\ C_2 = 3+3 = 6 \mu F$$
E agora...
$$\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{4+2+6+4+2+1+3}{12} = \dfrac{22}{12} = \dfrac{11}{6} \\ C_{eq} = \dfrac{1}{6} \approx 0.54 \mu F$$

2. Encontre a forma de onda da corrente em um capacitor de 1.4 microF quando temos a forma de onda da tensão abaixo:

Ok, seguinte situação: precisamos determinar a corrente em cada ponto a partir da equação do capacitor inteira. Sendo a equação a seguinte:
$$i = C \dfrac{dV}{dt}$$
Sim, a derivada. É que faremos tal procedimento: traçaremos a equação da reta do início ao fim de todos os segmentos da curva, e ela será o que colocaremos no lugar de V (veja bem, não dV/dt, apenas V). Siga o primeiro exemplo, a primeira reta:
(t, V): (0, 0), (1, 2)
Sendo uma reta, já fica bem claro que a equação da reta é 2t. Sendo assim, o gráfico da corrente entre t = 0 e t = 1 é:
$$i_{C1} = C \dfrac{dV}{dt} = C \dfrac{d}{dt} [2t] = C \times 2 = 1.4 \mu \times 2 = 2.8 \mu A$$
Fácil, não é? Se tem algum problema, ele é apenas traçar a equação da reta. E não é problema, de qualquer forma. Vamos pra segunda corrente, entre o tempo 1ms e o tempo 3ms - veja bem, a voltagem permanece 2 estático, então V = 2. Sendo assim:
$$i_{C2} = C \dfrac{d}{dt} [2] = C \times 0 = 0$$
Ótimo. Para a terceira voltagem, temos realmente que fazer os esquemas básicos pra equação da reta, mas bem simples. A equação da reta é a seguinte:
y = ax+b (y função, x variável)
Nesse caso, temos que:
V = at+b (V função, t variável)
Sendo assim, podemos jogar nos valores de V e de t o que temos no gráfico, que são os pontos. Os dois melhores exemplos sempre são os extremos, nesse caso (t, V): (3, 2), (5, -2). Formamos aí um sistema linear de equações:
$$\begin{cases} 2 = 3a + b \\ -2 = 5a + b \end{cases}$$
Multiplicamos a parte debaixo por (-1) pra poder cortar os b, e temos 2 = 3a e 2 = -5a pra somar. Assim, -2a = 4. Isolando, temos que a = -2. Substituímos a numa equação qualquer para descobrir b:
$$3 \times (-2) + b = 2 \\ b = 2 + 6 = 8$$
E temos que a equação final é V = -2t + 8. Colocamos isso na equação da corrente:
$$i_{C3} = C \dfrac{d}{dt} [-2t + 8] = 1.4 \mu \times (-2) = -2.8A$$
Ótimo, agora resta apenas uma equação da reta pra traçar. Ela é entre t = 5ms e t = 6ms, aonde há um aumento na voltagem. Assim como a última equação, vamos fazer uma análise dos pontos. (t, V): (5, -2), (6, 0).
E agora montar o sistema de equações:
$$\begin{cases} -2 = 5a + b \\ 0 = 6a + b \end{cases}$$
Aonde mais uma vez multiplicamos a segunda equação por (-1) pra anular os b, sobrando 5a = -2 e -6a = 0 na soma, e ficando -a = -2. Só inverter os sinais, temos a = 2. Então só colocar em alguma das duas equações pra descobrir b:
$$5 \times 2 + b = -2 \\ b = -2 - 10 = -12 \\ V = 2t - 12$$
Agora substituindo na equação da corrente:
$$i_{C4} = C \dfrac{d}{dt} [2t - 12] = 1.4\mu \times 2 = 2.8\mu A$$

Com isso dá pra plotar o gráfico da corrente com relação ao tempo. Mas pra ficar bem fácil e entendível, vamos fazer um sumário de tudo o que coletamos aqui.
Entre t = 0ms e t = 1ms, a corrente é 2.8 microA.
Entre t = 1ms e t = 3ms, a corrente é 0.
Entre t = 3ms e t = 5ms, a corrente é -2.8 microA.
Entre t = 5ms e t = 6ms, a corrente é 2.8 microA.

Assim, plotaremos o gráfico:

Viu? Até fácil, só trabalhosinho.

Sinto estar postando algo que talvez nem caia na prova, galera, mas tava vendo aqui e realmente não tem como não explicar capacitor e indutor antes de entrar na corrente alternada. Tem gente que tá entendendo errado as coisas até agora. Vou acelerar o que puder, ver se posto indutor ainda hoje e arriscar números complexos também.
No mais, bom dia a todos, e bons estudos.

Aula VII - Circuitos Elétricos

Teorema de Norton

Consiste em substituir parte do circuito por uma fonte de corrente de Norton (In) e uma resistência de Norton. Etapas:

1. Encontrar a resistência de Norton (Rn). Uma nota interessante é que a resistência de Thévenin é IGUAL a resistência de Norton.
2. Encontrar a corrente de Norton e fechar o circuito onde ele foi separado. Outra nota interessante: enquanto a resistência de Thévenin abria o circuito pra encontrar a tensão no ponto, a de Norton fecha o circuito; é muito raro um resistor em curto nesse caso.

Note que a resistência de Norton fica em paralelo com a resistência desejada, ao contrário da resistência de Thévenin, que fica em série.

Exemplo:

Nesse caso, queremos a tensão naquele resistor de 4 ohms. Vamos fatiar essa última resistência e trabalhar com todo o resto, de maneira por regra semelhante ao teorema de Thévenin. A parte da resistência, como constatado nas etapas, é igual à de Thévenin, então:

Ok, temos duas resistências de 4 em paralelo (4//4 = 2), em série com uma de 4 (2+4 = 6). Logo, resistência de Norton é de 6 ohms. Agora para a parte de descobrir a corrente de Norton:

Vê... A corrente de Norton é a corrente que passa pela última linha do circuito (a etapa 2 descreve bem isso), assim como a tensão de Thévenin é a que está no último elemento do circuito. A diferença da corrente pra tensão é que a corrente não precisa estar passando em alguma coisa pra ser contabilizada (aliás, se não há nada entre um nó e outro é porque o que está no meio está em curto e a corrente será a máxima possível naquele ponto). De qualquer forma, sem mais enrolações: para descobrir a corrente naquele ponto, precisamos saber a corrente total do circuito.
Temos dois resistores de 4 em paralelo (4//4 = 2), em série com um de 4, o que dá 6 ohms. Para descobrir a corrente total, precisamos dividir a tensão total pela resistência total:
$$i = \dfrac{24V}{6\Omega} = 4A$$
Agora nem precisamos fazer mais conta. Analisando o circuito, vemos que a corrente de 4 se divide por dois resistores de valor igual, o que significa que é só dividir por 2 e teremos a corrente em cada ponto. Ou seja: a corrente de Norton no ponto que queremos é de 4/2 = 2A, já que é a corrente que passa por um dos resistores.
Remontando o circuito, lembrando daquela informação relevante que passei mais acima, que as resistências de Norton ficarão em paralelo:

Agora é fácil, né? Os resistores estão em paralelo, o que indica que a tensão é a mesma nos dois pontos... E indica, também, que a tensão desejada nesse circuito é a total. Só precisamos fazer as associações de resistores em paralelo e multiplicar pela corrente:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{6\Omega} + \dfrac{1}{4\Omega} = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12} \\ R = \dfrac{12}{5} = 2.4\Omega$$
$$V_0 = 2A * 2.4\Omega = 4.8V$$
Resolvido o exemplo, vamos aos exercícios, que são mais dificinhos que isso.

Exercício 1

Vamos fatiar o resistor de 6 aí, o resto deixaremos. Lembrando que temos duas fontes, então usaremos o teorema da superposição para elas. Primeiro, após o corte, vamos deixar apenas as resistências para descobrir a resistência de Norton que queremos.

Note que temos três resistências de 4 em paralelo, em série com outra de 4. Nesse caso, temos que as resistências em paralelo dão 4/3. Para somar com 4 de uma maneira precisa:
$$R = \dfrac{4}{3} + 4 = \dfrac{12 + 4}{3} = \dfrac{16}{3} \approx 5.33\Omega$$
Vamos trabalhar esse resultado exato em fração ao invés da aproximação. Como sempre.
Agora remontando o circuito já aplicando a superposição e deixando apenas a fonte de 24V, temos:

Veja bem: mais uma vez, são três resistências de 4 em paralelo, em série com outra de 4. Precisamos descobrir a corrente ali na extrema direita, como são três resistores de valor igual a corrente é a que entrar nos nós dividido por 3. Como a corrente que se divide é a total, então é só descobrir essa corrente.
Como eu disse, a resistência é a mesma que descobrimos pra Norton, 16/3. É só dividir a tensão total por isso:
$$i = \dfrac{24V}{\dfrac{16}{3}\Omega} = \dfrac{24 * 3}{16}A = \dfrac{72}{16}A = 4.5A$$
Dividindo isso por 3:
$$i'_n = \dfrac{4.5A}{3} = 1.5A$$

O próximo ponto é isolar a fonte de 6A:

Veja que, dessa vez, o circuito é um pouquinho mais complexo. Mas pela lógica é bem mais fácil de resolver. Pegue bem esse raciocínio meu, pode ajudar um pouco em uma infinidade de exercícios: são quatro resistores em paralelo, então sabemos que a corrente se divide igualmente pelos quatro, certo? Concorda comigo que a corrente total já está dada, e é de 6A? Logo é só dividir ela por 4.
$$i''_n = \dfrac{6A}{4} = 1.5A$$
Ótimo. Agora precisamos fazer a soma das correntes. Antes, note que a polaridade da fonte de tensão está na mesma direção da fonte de corrente, o que indica que haverá soma mesmo, não subtração. Logo a corrente de Norton é 1.5 + 1.5, 3A.
Redesenhando o circuito com a fonte de corrente de 3A e a resistência de 16/3 ohms:

Note que a tensão no resistor sempre será a total, pelo fato dos resistores sempre ficarem em paralelo. É uma associação semelhante ao circuito de Thévenin, que a corrente sempre será a total pelo fato dos resistores estarem em série. Mas bem, resolvendo, temos duas resistências em paralelo e precisamos descobrir essa equivalência para multiplicar pela corrente e descobrir a tensão. Diz-se que:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{\dfrac{16}{3}} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16} + \dfrac{8}{16} = \dfrac{11}{16} \\ R = \dfrac{16}{11} \approx 1.45\Omega$$
Com isso, a tensão no resistor é:
$$V_0 = 3A*\dfrac{16}{11}\Omega = \dfrac{48}{11}V \approx 4.37V$$

E resolvido está o primeiro exercício.

Exercício 2

Bem, o de sempre pra começar: retirar a parte recortada. Daí, primeiro, tirar todas as fontes do circuito e resolver a resistência equivalente para descobrir a resistência de Norton:

Bom, veja que temos em paralelo 2 com 4, em série com o resto (1 e 2, em série). Só fazer as contas então:
$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \\ R_{eq} = \dfrac{4}{3}\Omega \approx 1.33\Omega$$
Agora, somando com o resto em série:
$$R_n = 1 + 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{6}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{13}{3}\Omega \approx 4.33\Omega$$
Ok, tendo isso, vamos resolver o resto do circuito através da superposição. Primeiro isolando a fonte de 12V:

Veja bem, queremos descobrir a corrente de Norton aí. Para isso, precisamos da tensão e da resistência no ponto e não temos nenhum desses. Na verdade, a resistência é só somar em série a de 1 e 2, e daí descobrimos uma resistência de 3 ohms que será utilizada no cálculo final. No entanto, a tensão é um pouco mais complicada, já que são resistores em paralelo 3//4 e, pra essa tensão, precisamos da resistência e da corrente que se divide nele.
A resistência é:
$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12} \\ R_{eq} = \dfrac{12}{7}\Omega \approx 1.71\Omega$$
Agora só falta a corrente total para descobrir essa tensão. Bem, pra corrente total, precisamos da resistência total e da tensão total - tensão temos, a fonte nos diz qual é, enquanto a resistência é só associar o resistor em paralelo que temos, em série com o de 2 ohms. Fica:
$$R = \dfrac{12}{7} + 2 = \dfrac{12}{7} + \dfrac{14}{7} = \dfrac{26}{7} \approx 3.71\Omega$$
$$i = \dfrac{12V}{\dfrac{26}{7}\Omega} = \dfrac{12*7}{26}V = \dfrac{84}{26}V = \dfrac{42}{13} \approx 3.23A$$
Como descobrimos a primeira solução, vamos só começar a colocar os valores nas associações que fizemos antes. Essa corrente foi descoberta para descobrir a tensão no ponto que queremos, que precisava da resistência (o paralelo 3//4) e a corrente total, então:
$$V_n = \dfrac{42}{13}A \times \dfrac{12}{7}\Omega = \dfrac{504}{91}V = \dfrac{72}{13} \approx 5.54V$$
E precisávamos dessa tensão para descobrir a corrente de Norton, que precisava dessa tensão e da resistência naquele ponto (a que descobrimos ser 3 ohms), então:
$$i'_n = \dfrac{\dfrac{72}{13}V}{3\Omega} = \dfrac{72}{3*13}A = \dfrac{72}{39} = \dfrac{24}{13} \approx 1.85A$$
Ótimo.
Como eu fiz alguma outra vez, esse é o raciocínio padrão que sigo, que torço para que seja fácil de entender. É meio que uma recursividade pra circuitos elétricos, mas que funciona bem e é fácil porque você tem uma análise completa do circuito quando começa a descobrir valores.

Segundo circuito, agora isolando a fonte de corrente de 4A:

Veja bem, a corrente que queremos descobrir está naquele ponto com a resistência de 2 ohms. Precisamos, além da resistência, da tensão naquele ponto - que é a total do circuito. Para a tensão total, precisamos da corrente total (4A) e da resistência total, que é tudo aquilo do outro lado do circuito em paralelo com a resistência de 2 com a corrente. Logo, só resolver:
2 está em paralelo com 4, desnecessário fazer conta de novo porque fizemos lá em cima pra descobrir a resistência de Norton. Dá 4/3, ou 1.33 ohms. Em série com 1, 7/3, ou 2.33 ohms. Agora é só fazer isso em paralelo com 2:
$$R = \dfrac{\dfrac{7}{3} \times 2}{\dfrac{7}{3} + 2} = \dfrac{\dfrac{14}{3}}{\dfrac{7}{3} + \dfrac{6}{3}} = \dfrac{\dfrac{14}{3}}{\dfrac{13}{3}} = \dfrac{14}{13} \approx 1.07\Omega$$
A tensão total, então, é:
$$V = 4A \times \dfrac{14}{13}\Omega = \dfrac{56}{13}V \approx 4.31V$$
E a corrente de Norton:
$$i''_n = \dfrac{\dfrac{56}{13}V}{2\Omega} = \dfrac{56}{13 \times 2}A = \dfrac{56}{26}A = \dfrac{28}{13}A \approx 2.15A$$

Como as polaridades da fonte de tensão correspondem à direção da fonte de corrente, as correntes de Norton serão somadas:
$$i_n = \dfrac{24}{13}A + \dfrac{28}{13}A = \dfrac{52}{13}A = 4A$$
Vantagens claras de se usar fração a todo momento. Apesar de que, não empolguem, o resultado final é quebrado da mesma forma. Enfim! Montemos o circuito de Norton com esses valores então:

Como todo circuito de Norton, só precisamos descobrir a equivalência entre as resistências, e depois a tensão total, e depois a corrente no ponto. Então façamos isso em ordem:
$$R = \dfrac{\dfrac{13}{3} \times 2}{\dfrac{13}{3} + 2} = \dfrac{\dfrac{26}{3}}{\dfrac{13}{3} + \dfrac{6}{3}} = \dfrac{\dfrac{26}{3}}{\dfrac{19}{3}} = \dfrac{26}{19} \approx 1.37\Omega$$
$$V = 4A \times \dfrac{26}{19}\Omega = \dfrac{104}{19}V \approx 5.47V$$
$$i_0 = \dfrac{\dfrac{104}{19}V}{2\Omega} = \dfrac{104}{38}A = \dfrac{52}{19}A \approx 2.74A$$
E essa é a resposta final do circuito. Próximo.

Ao meu ver, superposição pura é muito mais fácil aqui. De qualquer forma, vamos resolver assim, já que a aula é de teorema de Norton. Primeiro, vamos isolar todas as resistências:

Veja bem, já localizei todos os nós para ficar mais fácil de perceber a situação do circuito, porque de vista pode não ser tão fácil entender o quão simples ele é. Todas as resistências de 1 estão em paralelo, em série com uma de 1 (a da extrema esquerda). Para descobrir a resistência em paralelo, vamos dividir 1 por 4, já que todos os valores são iguais e são 4 resistências:
$$R_P = \dfrac{1}{4}\Omega = 0.25\Omega$$
Somando com 1:
$$R_n = 0.25 + 1 = 1.25\Omega$$

Agora vamos isolar cada fonte de tensão:

Veja bem, não se assuste. Podemos redesenhar o circuito, mas chega a ser irrelevante tomar essa atitude. Perceba que o circuito vai da tensão para A, de A para B, e de B para C, e de C para a tensão de novo. Sabemos que tudo que está entre A e B forma uma única resistência em paralelo AB, e tudo que está entre B e C forma uma resistência em paralelo BC... Sendo assim, a resistência AB está em série com a BC.
Mas bem, vamos pensar no método recursivo. Pra que mesmo gostaríamos de saber a resistência total?
1. Queremos a corrente que passa unicamente pelo resistor de 1ohm na extrema esquerda, para ela precisamos da resistência de 1ohm e da tensão, que não temos.
2. Para essa tensão, temos duas alternativas: ou precisamos da resistência de 1ohm e da corrente (que é o que queremos no final do exercício) e ficamos no lenga-lenga ou, como 1ohm está em paralelo com outros dois circuitos, usamos a resistência equivalente desses três resistores e a corrente que se divide nos três. A resistência podemos descobrir dividindo 1 por 3, já que são três resistores iguais:
$$R_{BC} = \dfrac{1}{3}\Omega \approx 0.33\Omega$$
Já a corrente ainda não temos.
3. Para descobrir essa corrente, que é a total já que estamos falando de algo que ainda vai se dividir, precisamos da tensão total de 6V e da resistência equivalente do circuito completo. Já temos uma parte dessa resistência equivalente (Rbc), falta só Rab e juntar as duas pelo que discutimos lá em cima:
$$R_{AB} = \dfrac{1}{2} = 0.5\Omega$$
$$R = \dfrac{1}{3} + 0.5 = \dfrac{1 + 1.5}{3} = \dfrac{2.5}{3} \approx 0.83\Omega$$
$$i = \dfrac{6V}{\dfrac{2.5}{3}\Omega} = \dfrac{6 \times 3}{2.5}A = \dfrac{18}{2.5}A = 7.2A$$
Ótimo, agora vamos voltar pro 2, com essa corrente.
$$V_{BC} = 7.2A \times \dfrac{1}{3}\Omega = \dfrac{7.2}{3}V = 2.4V$$
E agora voltamos pro 1:
$$i'_n = \dfrac{2.4V}{1\Omega} = 2.4A$$
Resolvido isso, vamos pra segunda parte, com a fonte de 12V:

Como vê, um sistema semelhantíssimo ao primeiro. Três resistores em paralelo formando um AB, em série com dois resistores em paralelo que formam um BC. A corrente está acompanhada de uma resistência de 1ohm da parte AB. Mas agora vou propor uma análise diferente e um pouco mais fácil desse circuito, que não dei antes pra mostrar outra maneira de seu funcionamento - ao invés de abrir vários problemas para achar uma solução, e a partir dela começar a achar outras, veja bem o seguinte.
Queremos saber uma corrente de um ponto que está em paralelo com outros dois, sendo que as três resistências têm valores iguais. A tensão em paralelo é sempre a mesma, só pode variar a resistência e a corrente - se a resistência não varia, a corrente também não varia. "Tá, mas o que isso significa?" significa que a corrente se divide igualmente nos três pontos. O que significa que, encontrando a corrente total e dividindo-a por três, você tem a corrente desejada.
Primeiro, vamos encontrar essa corrente total, que precisa da resistência total e da tensão de 12V:
$$R_T = R_{AB} + R_{BC} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2.5}{3} \approx 0.83\Omega$$
$$i = \dfrac{12V}{\dfrac{2.5}{3}\Omega} = \dfrac{12 \times 3}{2.5}A = \dfrac{36}{2.5}A = 14.4A$$
Logo:
$$i''_n = \dfrac{14.4A}{3} = 4.8A$$
Estando as duas correntes In no mesmo sentido, soma-se elas:
$$i_n = 2.4A + 4.8A = 7.2A$$

Agora, redesenhando o circuito de Norton:

Dessa vez bem fácil, né? A tensão consumida pelos dois é igual, então a tensão total no circuito é V0. Vejamos, a resistência equivalente é:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{1.25} + \dfrac{1}{1} = 0.8 + 1 = 1.8\Omega \\ R = \dfrac{1}{1.8}\Omega \approx 0.56\Omega$$
Sendo assim:
$$V_0 = 7.2A \times \dfrac{1}{1.8}\Omega = \dfrac{7.2}{1.8}V = 4V$$
E está resolvido o exercício.

Felizmente poderei acelerar as próximas aulas agora, já que capacitores e indutores foram mais simples (só com uns gráficos que serão chatinhos de desenhar), e números complexos são de boa... Daí o problema fica por conta dos circuitos de CA. Mas bem, adiantando aqui (3 dias da semana tentarei estar progredindo em circuitos aqui no blog!), acho que dá tempo de, até umas semaninhas antes da prova, estar tudo nos trinques.
Bom dia a todos!

Aula VI - Circuitos Elétricos

Teorema de Thévenin

Consiste em substituir parte do circuito por uma resistência equivalente e uma fonte de tensão.

Passos:

1. Definir qual parte do circuito será substituída.
2. Calcular a resistência de Thévenin tirando as fontes de corrente e de tensão.
3. Calcular a tensão de Thévenin no circuito que será substituído.

Exemplo:

Aqui no desenho está representada uma parte que será, de fato, removida. Ficará dessa maneira:

Primeiro, nesse circuito todo, descobriremos a resistência de Thévenin. Isso inclui aquela resistência bem na ponta. Mas pra isso, retiramos todas as fontes de corrente e tensão, como especificado pelo segundo passo, e verificamos só a resistência equivalente:

Análise de um circuito deveras simples: da esquerda pra direita, duas resistências de 4 em paralelo, em série com uma de 2, em paralelo com uma de 4, em série com uma de 4. Vamos facilitar um pouco as contas lembrando que duas resistências em paralelo de mesmo valor têm uma equivalente que é esse valor dividido por 2.

Então ok: 4 paralelo com 4 dá 2, 2 em série com 2 dá 4, 4 em paralelo com 4 dá 2, 2 em série com 4 dá 6. Então a resistência de Thévenin desse circuito é de 6 ohms.

Agora vamos retornar as fontes de tensão para descobrir a tensão de Thévenin, que é o terceiro passo:

Já cortei direto a resistência de 4 para não reutilizar a mesma imagem só colocando o Vth ali. O esquema é o seguinte: agora temos um circuito comum e vamos medir a tensão de Thévenin, que é a tensão consumida pelo resistor na extrema borda direita - o de 4 ohms.

Bem, temos um circuito comum. O que faremos é usar o teorema da superposição a fim de descobrir essa voltagem. Primeiro, isolamos a fonte de 24V:

Bem simples, de fato. Primeiro temos que descobrir a corrente total, e pra isso resolvemos o circuito: da direita pra esquerda, 4 e 2 estão em série, o resultado fica em paralelo com 4, e esse resultado fica em série com 4. Essa análise de circuito eu presumo que já esteja na ponta da língua.

$$R_1 = 4+2 = 6\Omega \\ R_2 = \dfrac{4*6}{4+6} = \dfrac{24}{10} = 2.4\Omega \\ R = 2.4+4 = 6.4\Omega$$

Logo, para a corrente:

$$i = \dfrac{24V}{6.4\Omega} = 3.75A$$

Agora, para descobrir a voltagem de Thévenin ali, precisamos da corrente que passa por ela e da resistência - temos a resistência, falta a corrente. Para descobrir essa corrente, precisamos da resistência e da voltagem consumida pelos dois resistores - temos a resistência, falta a voltagem. Para descobrir essa voltagem, precisamos da resistência equivalente no ponto e da corrente total: temos ambos, então vamos resolver isso.

$$V_{4//6} = 3.75A * 2.4\Omega = 9V$$

Trabalhando como uma recursividade, vamos voltar para a corrente final que precisamos, agora que temos a resistência e a voltagem consumida por eles:

$$i_x = \dfrac{9V}{6\Omega} = 1.5A$$

E agora, que temos a corrente e a resistência no ponto que queremos, só jogar tudo na equação:

$$V'_{th} = 1.5A * 4\Omega = 6V$$

Resolvido o primeiro, vamos ao segundo:

Ainda mais de boa que o primeiro. Um circuito que começa com duas resistências em série (4, 2), e em série com uma terceira resistência que está em paralelo (4, 4). A voltagem é o tanto consumido pelo resistor de 4 ohms, que é o segundo desses resistores.

Para isso, precisamos da corrente total e da resistência no ponto. Temos a resistência (4), mas não a corrente total - para ela, precisamos da resistência total do circuito e da voltagem total. Como temos a voltagem e não a resistência, só resolver:

4 paralelo com 4, pela "regra" da divisão que eu usei mais acima, fica uma resistência de 2. 2 em série com 4, 6. Em série com 2, 8. Corrente total:

$$i = \dfrac{12V}{8\Omega} = 1.5A$$

Como dito desde o início, a corrente que passa pelo resistor de 4 é a total. Então é só fazer a multiplicação:

$$V''_{th} = 1.5A * 4\Omega = 6V$$

E, por fim, soma-se as duas tensões (os sinais são iguais) para descobrir a total.

$$V_{th} = 6+6 = 12V$$

Agora, o circuito fica assim:

Vê? Um simples circuito com dois resistores e uma fonte. Um resistor a gente deixou de lado quando cortou o circuito (o de 4), o outro é a resistência de Thévenin que descobrimos - e ela está em série com a tensão de Thévenin que é 12V. Agora só resolver somando as resistências e usando a lei de Ohm:

$$i = \dfrac{12V}{6\Omega + 4\Omega} = \dfrac{12V}{10\Omega} = 1.2A$$

É um método trabalhoso de se fazer, mas assim que se chega no final, fica muito fácil. Mais exemplos a seguir:

1. Encontre i0.

Ok... Vamos fatiar o último pedaço do circuito, com a resistência de 2. Primeiramente, tiraremos todas as fontes do circuito (lembrando da regra: fonte de tensão fecha o circuito, fonte de corrente abre o circuito) e deixaremos apenas as resistências para descobrir a resistência de Thévenin:

Como vê, duas em paralelo (3, 6) em série com uma de 4.

$$R_{th} = (3//6) + 4 = \dfrac{3*6}{3+6} + 4 = \dfrac{18}{9} + 4 = 2+4 = 6\Omega$$

Agora vamos pegar o circuito fatiado com todas as fontes. A tensão e a de corrente:

Aqui teremos que aplicar o teorema da Superposição. Retirar uma fonte e deixar a outra, pra de corrente sai a linha, pra de tensão fica a linha: o de sempre. Vamos lá:

Sempre bom lembrar que o resistor de 4 ohms, nesse caso, está em curto então nem conta. Queremos, então, medir a tensão no resistor de 6 ohms.

Temos um simples circuito com duas resistências em paralelo (3//6) e uma corrente de 2A determinada. Como, por lei, as duas resistências têm de consumir a mesma tensão, fica que a tensão total do circuito é a tensão de Thévenin que queremos:

$$V'_{th} = R_T * i = \dfrac{3*6}{3+6} \Omega * 2A = 2\Omega * 2A = 4V$$

Mais fácil ainda: são duas resistências em série, de 6 e 3 (4 está em curto). Temos que a tensão é só para o 6, então é só descobrir a corrente total e multiplicar pelo resistor de 6.

$$i = \dfrac{V}{R_T} = \dfrac{12}{3+6} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}A \approx 1.33A$$

$$V''_{th} = \dfrac{4}{3}A * 6\Omega = \dfrac{24}{3}V = 8V$$

Agora, para descobrir a tensão total, fazemos o somatório das tensões invertendo os sinais se é o caso das tensões estarem em sentidos opostos. Note que a fonte de corrente de 2A percorre o circuito inicialmente descendo, então indo a direita e subindo pelo trecho dos resistores de 3 e 6; então note a tensão de 12V, aonde a corrente desce o resistor de 6 e sobe o de 3. Sim, são sentidos opostos. Portanto é uma subtração:

$$V_{th} = 8V - 4V = 4V$$

Agora ficou bem fácil: a corrente total é a corrente i0. Logo, só precisamos associar os resistores em série e fazer a divisão:

$$i_0 = \dfrac{V}{R_T} = \dfrac{4V}{6\Omega +2\Omega} = \dfrac{4V}{8\Omega} = 0.5A$$

Próximo.

Melhor ver a imagem em tamanho completo

Ok, primeiro vamos pegar a parte que não está cortada e fazer a resistência de Thévenin pra ela. Tiramos todas as fontes aplicando o esquema de deixar a linha pra tensão e retirar a linha pra corrente. Sobrando só as resistências fica:

Beeeeeeeeeeeem simples, aliás. Só duas resistências de 12 em paralelo (12//12 = 6) e em série com uma de 2 (6+2 = 8). Logo, a resistência de Thévenin é 8 ohms. Agora vamos aplicar o teorema da superposição e começar com a fonte de 12V:

Já retirei o resistor de 2 que ficaria em curto do circuito. Vemos aí que a descoberta é a voltagem no resistor de 12, que é bem simples. Precisamos da voltagem de 12, para isso precisamos da resistência e da corrente - temos a resistência, não temos a corrente.

Precisamos da corrente do circuito todo: temos a voltagem total, mas não a resistência total.

Precisamos da resistência total... É um simples circuito em série, então só somar (12+12 = 24) e encontraremos uma resistência de 24 ohms.

Agora que temos essa resistência voltemos à corrente. A corrente é a divisão da voltagem total pela resistência total, então:

$$i = \dfrac{12V}{24\Omega} = 0.5A$$

Temos a corrente total, então é só descobrir a voltagem no ponto que queremos:

$$V'_{th} = 12\Omega * 0.5A = 6V$$

Feito. Agora isolando a fonte de corrente de 3A:

Uma nota interessante é: sim, quando a fonte é que está mais próxima da parte cortada, ela conterá a tensão de Thévenin. O que significa que se fosse uma fonte de tensão ali, nem haveria puzzle, seria só colocar o valor. Como é uma de corrente, ainda precisamos descobrir a tensão total do circuito. Primeiro a resistência em paralelo ali que, como todos sabemos, é de 6 ohms (paralelo com mesmo valor = metade do valor na equivalente).

Tendo isso, só multiplicar pela corrente:

$$V''_{th} = 6\Omega * 3A = 18V$$

Como vê, dessa vez permanece a resistência de 2 ohms porque ela vem depois de 5A falando da direita pra esquerda. De qualquer forma, mais uma vez a tensão de Thévenin é a tensão total do circuito, já que é a tensão fornecida pela única fonte dele. Temos duas resistências de 12 em paralelo (12//12 = 6), em série com uma de 2 (6+2 = 8), o que indica que a resistência total do circuito é de 8 ohms, e uma corrente de 5A. Só multiplicar uma pela outra e temos a tensão de Thévenin nesse circuito:

$$V'''_{th} = 8\Omega * 5A = 40V$$

AGORA, vamos ver como vamos efetuar essa soma. Já fica claro que as fontes de corrente estão opostas no circuito final, enquanto a associação que fazemos pra fonte de tensão é ver que as polaridades estão a favor da fonte de 3A (+ pra cima, - pra baixo; 3A distribui corrente pra cima), então os sentidos das duas são iguais. Então façamos a seguinte associação:

$$V_{th} = 6V + 18V - 40V = -16V$$

Um caso interessante de voltagem negativa na tensão de Thévenin. O que acontece? Simples: invertemos as polaridades da tensão. Ao invés de positivo pra cima e negativo pra baixo, positivo pra baixo e negativo pra cima. No final, fica assim:

Simples, não? A corrente é a corrente total do circuito. Temos duas fontes em série e dois resistores também em série. Para ambos, podemos simplesmente somar. A voltagem total fica 12+16 = 28V e a resistência total 4+8 = 12 ohms. Para descobrir essa corrente, só fazer a divisão de um pelo outro:

$$i_0 = \dfrac{28V}{12\Omega} = \dfrac{7}{3}A \approx 2.33A$$

E é isso a aula de teorema de Thévenin, a próxima é Norton e daí já entramos em capacitores e balblablabl até chegar na corrente alternada que estamos hoje. Peço desculpas pela demora, galera, circuitos custa um tempo danado com ou sem software pra desenhar, mas vou começar a pegar mais pesado pra postar a respeito porque é uma matéria que tá dando dor de cabeça pra muita gente... De qualquer forma, não é de todo mal postar os teoremas antigos aqui ao invés de pular já que está tão atrasado, visto que vamos usar tudo de novo só que com números imaginários num futuro bem próximo.

Bem, bom dia a todos!