Aula X - Mecânica dos Sólidos

Substitua o binário e a força mostrados na figura por uma força única equivalente aplicada à alavanca. Determine a distância do eixo ao ponto de aplicação dessa força equivalente.

 

I. Cálculo do momento produzido pela força F = 400N

Ok, o cálculo de momento é bem claro. Sendo r vetorial F a fórmula, e tendo a força facilmente decomposta em -400N na direção j (veja o ângulo de 90° pra baixo), só precisamos descobrir o r que nomearemos por questão de praticidade de OB.
Veja bem, temos uma hipotenusa OB de 0.3m e um cateto adjacente (OBx) de 0.15m. Para OBy, então, vamos fazer a relação de cateto oposto:
$$\sin{\theta} = \dfrac{\vec{OB}_y}{|\vec{OB}|} \\ \vec{OB}_y = |\vec{OB}| \sin{\theta} \\ \vec{OB}_y = 0.3m \sin{60°} \approx 0.26m$$
Logo:
$$\vec{OB} = (0.15m)\hat{i} + (0.26m)\hat{j}$$
Sendo o cálculo do momento o vetorial da distância r (no caso OB) com a força F, fazemos:
$$\vec{M} = \vec{OB} \times \vec{F} \\ = [(0.15m)\hat{i} + (0.26m)\hat{j}] \times [(-400N)\hat{j}] \\ =  [(0.15m)(-400N)]\hat{i} \times \hat{j} + [(0.26m)(-400N)]\hat{j} \times \hat{j} = \\ (-60Nm)\hat{k}$$

II. Cálculo do binário
Agora, ao cálculo do binário. Perceba o esquema da figura abaixo:

Vamos pegar com relação ao centro. O disco tem 60mm e, bem, temos que multiplicá-lo com as forças, que são iguais, e somar os resultados. O que significa que podemos resumir a expressão em:
$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \\ 2[(0.06m)\hat{j} \times (200N)\hat{i}] = \\ 2 * (-12Nm)\hat{k} = (-24Nm)\hat{k}$$

III. Soma dos momentos
Bem, autoexplicativo:
$$\vec{M}_R = (-60Nm)\hat{k} + (-24Nm)\hat{k} = (-84Nm)\hat{k}$$

IV. Cálculo do novo vetor posição de F = 400N
Agora é a hora de recalcular o vetor posição com essa consideração da soma dos momentos. Veja:
$$\vec{M}_A = \vec{OC} \times \vec{F}$$
Sendo OC a nova posição. Vamos substituir os valores:
$$(-84Nm)\hat{k} = [(OC \cos{60})\hat{i} + (OC \sin{60})\hat{j}] \times [(-400N)\hat{j}] \\ = [(OC \cos{60})(-400N)\hat{i} \times \hat{j}] + [(OC \sin{60})(-400N)\hat{j} \times \hat{j}] \\ = (-400N)(OC \cos{60})\hat{k}$$
Isolando OC:
$$OC = \dfrac{(-84Nm)}{(400N)\cos{60}} \approx 0.48m$$
E está resolvido o exercício.

Equilíbrio de corpos rígidos

Um guindaste fixo tem uma massa de 1000Kg e é usado para suspender um caixote de 2400Kg. O guindaste é mantido na posição indicada na figura por um pino A e um basculante B. O centro de gravidade do guindaste está localizado em G. Determine as componentes das reações em A e B.

(grato ao professor Renato por já disponibilizar uma imagem do exercício com o diagrama, facilita bastante... E acho que pro aprendizado é melhor assim. Ainda mais pra mostrar a importância do centro de gravidade na estrutura)

I. Cálculo de B

A condição de momento pro equilíbrio do corpo é:

$$\Sigma \vec{M}_i = 0$$

Sendo:

$$M = Fd$$

Somamos então todos os momentos do exercício e igualamos a zero:

$$B(1.5) - (9.81 \times 10^3)(2) - (23.5 \times 10^3)(6) = 0 \\ 1.5B = 19.62 \times 10^3 + 141 \times 10^3 \\ B = \dfrac{160.62}{1.5} \times 10^3 = 107.1kN$$

II. Cálculo de Ax

Outra das condições para que haja equilíbrio é:

$$\Sigma \vec{F} = 0$$

Sendo assim:

$$\Sigma \vec{F}_x = 0 \\ \Sigma \vec{F}_y = 0$$

Podemos usar a equação de x que pode ser resolvida agora com o valor de B:

$$A_x + B = 0 \\ A_x + 107.1kN = 0 \\ A_x = -107.1kN$$

III. Cálculo de Ay

Fazemos o mesmo para Ay agora:

$$A_y - 9.81 \times 10^3 - 23.5 \times 10^3 = 0 \\ A_y = 33.3kN$$

IV. Módulo de A

Teorema de Pitágoras basicão:

$$A^2 = A_x ^2 + A_y ^2 \\ A = \sqrt{(-107.1 \times 10^3)^2 + (33.3 \times 10^3)^2} = 112.2kN$$

V. Direção de A

$$\tan{\theta} = \dfrac{A_y}{A_x} = -0.31 \\ \theta = \tan^{-1}{-0.31} = -17.3°$$

Aula IX - Mecânica dos Sólidos

Exercício 2

O que o exercício nos pede é o momento com relação ao ponto B. Já está tudo expresso no gráfico dessa vez, mas é bom treinar para resolver a prova e saber resolver qualquer caso - a lista provavelmente ajudará bastante, mas isso é matéria de fácil aplicação em casos inúmeros da vida profissional e até mesmo com alguns probleminhas em casa.
De qualquer forma, como eu disse, já está tudo expresso no gráfico, é só fazer uma análise minuciosa de cada detalhe de lá - depois disso, vemos o que usaremos mesmo.

Primeiro, temos um vetor posição que mostra aonde está, numa parede, a força aplicada e aponta positivamente no eixo y e negativamente no eixo x. Com relação a B, a parede tem uma distância de 200mm (0.2m, considerando o sentido, -0.2m). A altura da força com relação a B é de 160mm, 0.16m positivo.
Temos um vetor posição representado assim:
$$\vec{r}_{AB} = -(0.2m)\hat{i} + (0.16m)\hat{j}$$
Quanto à força, é nos dado um módulo de 800N e um ângulo de 60° que se localiza no eixo x. Sendo assim, x está relacionado com o cosseno e y com o seno:
$$F_x = F \cos{60} = 800 \times \dfrac{1}{2} = 400N \\ F_y = F \sin{60} = 800 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 693N \\ \vec{F} = (400N)\hat{i} + (693N)\hat{j}$$

Lembrando que o exercício pede o momento com relação ao ponto B. A fórmula para o momento de um ponto é o produto vetorial entre a posição e a força, então temos que a resolução se dá simplesmente por:
$$\vec{M}_B = \vec{r}_{AB} \times \vec{F} = [(-0.2m)\hat{i} + (0.16m)\hat{j}] \times [(400N)\hat{i} + (693N)\hat{j}] \\ = [-0.2m \times 400N]\hat{i} \times \hat{i} + [-0.2m \times 693N]\hat{i} \times \hat{j} + [0.16m \times 400N]\hat{j} \times \hat{i} + [0.16m \times 693N]\hat{j} \times \hat{j} \\ 0 + (-138.6Nm)\hat{k} + (64Nm)-\hat{k} + 0 = (-138.6Nm - 64Nm)\hat{k} = -202.6Nm$$

E está resolvido.

Exercício 3

Mais uma vez, o gráfico já foi expresso previamente nesse. Temos um módulo de força de 135N sobre um ângulo alfa desconhecido.
Mas veja bem, para esse ângulo alfa, podemos usar uma simples relação do teorema de Tales. A figura te dá um triângulo supostamente análogo ALÉM da força e ainda, de quebra, dá um ângulo de 20°. Veja bem, por associação, podemos ver que o ângulo fecha com o eixo imaginário x 50°... Sabemos que a parte superior tem 20°, então alfa é o que resta, 30°.
Visto isso, prossigamos.


Ok, então decompomos os dois. A força e o vetor posição. O vetor posição podemos referenciar ao ângulo de 50, assim trabalhando x no cosseno e y no seno:
$$\vec{r} = [0.9m \cos{50}]\hat{i} + [0.9m \sin{50}]\hat{j} = (0.58m)\hat{i} + (0.69m)\hat{j}$$
E a força, com o ângulo que descobrimos:
$$\vec{F} = [135N \cos{30}]\hat{i} + [135N \sin{30}]\hat{j} = (116.91N)\hat{i} + (67.5N)\hat{j}$$

Agora lembremos da expressão pro momento, que é o produto vetorial entre a distância e a força. Assim como o professor, resolveremos essa em forma de matriz:
$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{pmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0.58m & 0.69m & 0 \\
116.91N & 67.5N & 0
\end{pmatrix}  = ([0.69m \times 0] - [0 \times 67.5N])\hat{i} \\ - ([0.58m \times 0] - [0 \times 116.91N])\hat{j} + ([0.58m \times 67.5N] - [0.69m \times 116.91])\hat{k} \\ = [39.15Nm - 80.67Nm]\hat{k} = -41.52Nm$$

Aula VIII - Mecânica dos Sólidos

Momento de uma força em relação a um eixo

Gráfico generalista:

É recomendável ver o desenho no seu tamanho original

Aonde:
d é a distância perpendicular de 0 até a linha de ação do vetor F.

$$\vec{M_0} = \vec{r} \times \vec{F} = |\vec{r}||\vec{F}| \sin{\theta}$$

Esse é o momento, ele é perpendicular ao plano que contém o ponto 0 e F, e é dado em Nm (Newtons-metro).

r é o vetor posição.
F é o vetor força.

Análise da figura

$$\sin{\theta} = \dfrac{d}{r} \\ d = r \sin{\theta} \\ |\vec{M_0}| = Fd$$

1. Uma força vetorial de 450N é aplicada na extremidade de uma alavanca que está ligada a um eixo O. Determine:

a) o momento da força de 450N em relação a O;

b) a força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento em relação a O;

c) a força mínima aplicada a A que gera o mesmo momento em relação a O;

d) a que distância do eixo deve estar uma força vertical de 1080N para gerar o mesmo momento em relação a O.

Ok, por onde começar... Seguinte. Não se assustem tanto com o gráfico acima todo 3D e tal, essa figura trabalha apenas em dois eixos, o que significa que só teremos x e y. Precisamos primeiro descobrir o momento dessa figura aí, crua, sem fazer nenhuma alteração. Lembrando que momento se dá em Newtons-metro, já vamos fazer a conversão necessária:

x = 60cm = 0.6m

Agora vamos trabalhar de fato. Vamos terminar uma linha de ação pra força de 450N e traçar uma reta perpendicular que sai do ponto O e vai até essa linha de ação. Assim:

Veja bem, a trigonometria básica nos diz que:
$$\cos{\theta} = \dfrac{CA}{h}$$

No caso, d é o cateto adjacente e a hipotenusa é 0.6m. O ângulo theta é 60°.

$$d = 0.6m * \cos{60°} = 0.3m$$

O momento se dá por Fd. Temos F, e agora temos d...

$$\vec{M_0} = 450N * 0.3m = 135Nm$$

Agora a letra B é o seguinte. Ela pede uma força horizontal em A que tenha o mesmo momento anterior, ou seja, M está determinado 135Nm.

O que vamos fazer é inverter a direção da força, que está no eixo y, para o eixo x. Ficará assim:

Agora é simples: é só fazer a mesma associação que fizemos pra A, pra B, pra descobrir o d. Depois jogar na fórmula pra descobrir o F. Primeiro, o gráfico fica bem assim:

A "descoberta" do ângulo tem que ser óbvia. Conhece-se o 60, pra fechar 90 falta 30. Bem, agora vamos fazer as contas para d, sabendo que ele é o cateto adjacente.

$$d = 0.6 \cos{30°} \approx 0.52m$$

E então jogar na equação do momento:

$$135Nm = F * 0.52m \\ F = \dfrac{135Nm}{0.52m} \approx 259.61N$$

Ótimo. Agora letra C: o F mínimo para que A gere o momento de 135Nm que descobrimos anteriormente. Vamos ver como é a equação da força nessa situação:

$$|\vec{M_0}| = Fd \\ F = \dfrac{|\vec{M_0}|}{d}$$

Se queremos a força mínima, matematicamente falando queremos o maior valor de d possível. Não é? Quanto maior o dividendo, menor o resultado, etc. Isso é fundamental. Temos que d se dá por uma relação trigonométrica (dependendo do ponto que você pegar, cosseno ou seno). Façamos a análise:

$$d = 0.6 \cos{\theta}$$

O cosseno de alguma coisa varia sempre de 0 a 1, não tem como sair disso. Então o valor mínimo para d é 0, e o valor máximo só pode ser 0.6 (0.6 vezes 1). Logo, o valor máximo que queremos pegar de d é esse 0.6. Jogando tudo na equação:

$$F = \dfrac{135Nm}{0.6m} = 225N$$

Por último, letra D. Essa é a mais fácil, junto com a primeira, porque não tem nenhuma análise a fazer exceto se você quiser bolar um gráfico bonitinho pra confirmar a teoria - vai dar certo, mecânica é mágica. Só sabemos que queremos o mesmo momento de sempre (135Nm) a uma força de 1080N. Então:

$$|\vec{M_0}| = Fd \\ d = \dfrac{|\vec{M_0}|}{F} = \dfrac{135Nm}{1080N} = 0.125m$$

Lembrando que o d é a perpendicular entre o ponto inicial e a linha de ação da força. Inclusive, para descobrir d em todos os outros exercícios, tivemos que pegar aquele x = 0.6m e multiplicar pelo cosseno de alguma coisa. Dessa vez será o oposto:

$$d = x \cos{\theta} \\ x = \dfrac{d}{\cos{\theta}} = \dfrac{0.125m}{0.5} = 0.25m$$

Essa é a distância pra você ter aquele momento aplicando a força de 1080N. E é só isso mesmo. Esse exercício é fundamental pros próximos de momento que vem por aí, que são bem mais pesados, então é bom que entendam bem esse.

Um bom dia a todos!

Aula VII - Mecânica dos Sólidos

Bem, essa aula foi basicamente no slide e a resolução de um exercício então será bem simples postar. Aí vai:

Prove através da maneira distributiva e matricial que:
$$\vec{P} \times \vec{Q} \neq \vec{Q} \times \vec{P}$$
O que vou fazer aqui é o seguinte: resolver os produtos vetoriais dos dois lados simultaneamente para mostrar a desigualdade. Acho que consome menos linha de caderno, embora aqui eu tenha espaço o suficiente pra escrever o quanto quiser... Mas acho favorável.
$$(P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}) \times (Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j} + Q_z \hat{k}) \neq (Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j} + Q_z \hat{k}) \times (P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k})$$
$$(P_x Q_x \hat{i} \times \hat{i} + P_x Q_y \hat{i} \times \hat{j} + P_x Q_z \hat{i} \times \hat{k}) + (P_y Q_x \hat{j} \times \hat{i} + P_y Q_y \hat{j} \times \hat{j} + P_y Q_z \hat{j} \times \hat{k}) + \\
(P_z Q_x \hat{k} \times \hat{i} + P_z Q_y \hat{k} \times \hat{j} + P_z Q_z \hat{k} \times \hat{k} \neq (Q_x P_x \hat{i} \times \hat{i} + Q_x P_y \hat{i} \times \hat{j} + Q_x P_z \hat{i} \times \hat{k}) + \\
(Q_y P_x \hat{j} \times \hat{i} + Q_y P_y \hat{j} \times \hat{j} + Q_y P_z \hat{j} \times \hat{k}) + (Q_z P_x \hat{k} \times \hat{i} + Q_z P_y \hat{k} \times \hat{j} + Q_z P_z \hat{k} \times \hat{k})$$
$$(0 + P_x Q_y \hat{k} - P_x Q_z \hat{j}) + (-P_y Q_x \hat{k} + 0 + P_y Q_z \hat{i}) + (P_z Q_x \hat{j} - P_z Q_y \hat{i} + 0) \neq\\
(0 + Q_x P_y \hat{k} - Q_x P_z \hat{j}) + (-Q_y P_x \hat{k} + 0 + Q_y P_z \hat{i}) + (Q_z P_x \hat{j} - Q_z P_y \hat{i} + 0)$$
$$(P_y Q_z - P_z Q_y)\hat{i} + (P_z Q_x - P_x Q_z)\hat{j} + (P_x Q_y - P_y Q_x)\hat{k} \neq\\
(Q_y P_z - Q_z P_y)\hat{i} + (Q_z P_x - Q_x P_z)\hat{j} + (Q_x P_y - Q_y P_x)\hat{k}$$
O que é verdadeiro.

Para a maneira matricial:

$$\begin{pmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
P_x & P_y & P_z \\
Q_x & Q_y & Q_z
\end{pmatrix} \neq
\begin{pmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
Q_x & Q_y & Q_z \\
P_x & P_y & P_z
\end{pmatrix}$$
$$-[(P_y Q_x)\hat{k} + (P_z Q_y)\hat{i} + (P_x Q_z)\hat{j}] + [(P_y Q_z)\hat{i} + (P_z Q_x)\hat{j} + (P_x Q_y)\hat{k})]\\
\neq -[(Q_y P_x)\hat{k} + (Q_z P_y)\hat{i} + (Q_x P_z)\hat{j}] + [(Q_y P_z)\hat{i} + (Q_z P_y)\hat{j} + (Q_x P_y)\hat{k}]$$

$$(P_y Q_z - P_z Q_y)\hat{i} + (P_z Q_x - P_x Q_z)\hat{j} + (P_x Q_y - P_y Q_x)\hat{k} \neq\\
(Q_y P_z - Q_z P_y)\hat{i} + (Q_z P_x - Q_x P_z)\hat{j} + (Q_x P_y - Q_y P_x)\hat{k}$$
O que também é verdadeiro, e inclusive igual à resposta anterior.

De qualquer forma, se você der uma analisada aí, vai perceber que os dois não são iguais porque, na verdade, um é o oposto do outro. Inverta os sinais do lado oposto (não-igual) e você terá a operação original:
$$(P_y Q_z - P_z Q_y)\hat{i} + (P_z Q_x - P_x Q_z)\hat{j} + (P_x Q_y - P_y Q_x)\hat{k} =\\
-[(Q_y P_z - Q_z P_y)\hat{i} + (Q_z P_x - Q_x P_z)\hat{j} + (Q_x P_y - Q_y P_x)\hat{k}]$$
Ou seja, naqueles cálculos de momentum do slide, tome cuidado com a ordem dos fatores utilizados.


E foi só isso mesmo o mais essencial para se anotar em aula. Bom dia!

Aula VI - Mecânica dos Sólidos

Ainda em equilíbrio dos corpos rígidos...
Esse é o desenho passado. Deve ter no livro algum mais bonitinho, mas fiz rápido já na linha de ação porque foi assim que o professor fez.
Lembrando que os ângulos estão daquela maneira por limitação do paint, o ângulo a é $\alpha$ e o ângulo B é $\beta$. Poderíamos usar a e B, mas seria confuso demais, é melhor assim. O resto continua do jeito que está.

O único dado que nos é fornecido é $|P| = 2700N$, e o exercício quer $\vec{T_{AC}}$ e $\vec{T_{BC}}$.

A estratégia inicial é a mesma passada: usar as distâncias para descobrir os ângulos, depooois trabalhar com o resto. Veremos:
$\beta = \tan^{-1}{(\dfrac{36}{48}} = \tan^{-1}{0.75} \approx 36.87°$
$\alpha = \tan^{-1}{\dfrac{60}{63}} \approx 43.6°$
Lembrando que, como essas contas são feitas todas na calculadora pelo fato do ser humano ter esquecido o processo de tangente inversa (supondo que um dia já o soube), não tem muito o que explicar. Só saber usar. Mas ok, temos os ângulos, agora precisamos decompor os vetores.
$\vec{T_{AC}} = (T_{AC} \cos{36.87}N)(-\hat{i}) + (T_{AC} \sin{36.87})\hat{j} = (-T_{AC} \cos{36.87}N)\hat{i} + (T_{AC} \sin{36.87})\hat{j}$
$\vec{T_{BC}} = (T_{BC} \cos{43.6}N)\hat{i} + (T_{BC} \sin{43.6}N)\hat{j}$
$\vec{P} = (P \cos{90}N)\hat{i} + (P \sin{90}N)\hat{-j} = 0\hat{i} + (P N)\hat{-j} = (-2700N)\hat{j}$

Ótimo, agora precisamos só aplicar o equilíbrio dos corpos rígidos. A somatória das forças é igual a 0, então a somatória de suas componentes também é 0.
$\Sigma F = 0$
$\Sigma F_x = 0$
$\Sigma F_y = 0$

No eixo x, temos apenas as forças das trações $T_{AC}$ e $T_{BC}$. A soma delas é igual a 0. Fica dessa forma:
$(T_{AC})_x + (T_{BC})_x = 0$
$-T_{AC} \cos{36.87} + T_{BC} \cos{43.6} = 0$
$T_{BC} \cos{43.6} = T_{AC} \cos36.8$
$T_{AC} = \dfrac{T_{BC} \cos{43.6}}{\cos{36.87}}$
...E é tudo o que podemos fazer por enquanto. Vamos deixar essa equação assim, ela vai ser útil.

Façamos pra y agora, percebendo uma diferença: enquanto as forças $T_{AC}$ e $T_{BC}$ estão unidas no mesmo sentido, tem a tração P indo no sentido oposto delas. Ou seja:
$(T_{AC})_y + (T_{BC})y + P = 0$
(lembremos que o "sentido oposto" já está determinado na componente P lá em cima)
$T_{AC} \sin{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} - 2700 = 0$
$T_{AC} \sin{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} = 2700$
E agora a grandiosa jogada está aqui: podemos jogar a equação descoberta no eixo x no lugar de $T_{AC}$, e vai sobrar apenas a variável $T_{BC}$ nessa equação. Assim, será possível determiná-lo.
$\dfrac{T_{BC} \cos{43.6}}{\cos{36.87}} \sin{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} = 2700$
$T_{BC} \cos{43.6} \tan{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} \approx T_{BC} * 0.72 * 0.75 + T_{BC} * 0.69 = 0.54T_{BC} + 0.69T_{BC} = 1.23T_{BC}$
$1.23T_{BC} = 2700$
$T_{BC} = \dfrac{2700}{1.23} = 2195.12N$

Para $T_{AC}$, só jogar na outra equação agora:
$T_{AC} = \dfrac{2195.12 \cos{43.6}}{\cos{36.87}} \approx \dfrac{2195.12 * 0.72}{0.8} = 1975.61N$
E está resolvido o exercício.

Produto Vetorial

$\vec{P} \times \vec{Q} = area$

$\sin{\theta} = \dfrac{h}{|\vec{Q}|}$
$h = |\vec{Q}|\sin{\theta}$

$\vec{P} \times \vec{Q} = B*h$
$\vec{P} \times \vec{Q} = |\vec{P}||\vec{Q}| \sin{\theta}$

Componentes retangulares por vetores
$\vec{P} = P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}$
$\vec{Q} = Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j} + Q_z \hat{k}$

$\vec{P} \times \vec{Q} = (P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}) \times (Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j} + Q_z \hat{k})$

$\vec{P} \times \vec{Q} = P_x Q_x \hat{i} \times \hat{i} + P_x Q_y \hat{i} \times \hat{j} + P_x Q_z \hat{i} \times \hat{k} +$
$P_y Q_x \hat{j} \times \hat{i} + P_y Q_y \hat{j} \times \hat{j} + P_y Q_z \hat{j} \times \hat{k} +$
$P_z Q_x \hat{k} \times \hat{i} + P_z Q_y \hat{k} \times \hat{j} + P_z Q_z \hat{k} \times \hat{k}$

$\vec{P} \times \vec{Q} = 0 + P_x Q_y \hat{k} - P_x Q_z \hat{j} - P_y Q_x \hat{k} + 0 + P_y Q_z \hat{i} + P_z Q_x \hat{j} - P_z Q_y \hat{i} + 0$
$\vec{P} \times \vec{Q} = (P_y Q_z - P_z Q_y)\hat{i} + (P_z Q_x - P_x Q_z)\hat{j} + (P_x Q_y - P_y Q_x)\hat{k}$

Vetores unitários

Tinha mais um gráfico representando o plano 3D, mas não me recordo se era uma simples representação do plano ou se tinha algo a mais que não copiei rs. De qualquer forma, tudo isso de produto vetorial nos lembramos muito bem... Não necessariamente só da Física Geral, como de uma quantidade enorme de matérias aí que temos que usar isso.

Isso será bem usado de agora pra frente porque trabalharemos com mecânica em três dimensões, já que duas é pros fracos. Boa sorte, e um bom dia a todos.

Aula IV - Mecânica dos Sólidos

Ontem tivemos uma aula um pouco mais razoavelmente difícil de mecânica, ainda girando completamente em torno de exercícios. No entanto, nada muito problemático. Tentarei explicar bem os exercícios aqui.

4. As duas forças P e Q atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante.

Ótimo. Aqui, ao contrário dos outros exercícios passados até agora, não conseguimos enxergar um triângulo retângulo formado pelos dois vetores. Aliás, são duas componentes que não estão retas nem no eixo x nem no y.
Primeiramente, usaremos o famoso elefantinho para ajudar na representação gráfica.

No caso, o que eu fiz aí foi o seguinte: coloquei a cauda do segundo vetor na ponta do primeiro e tracei uma reta que liga a cauda do primeiro à ponta do segundo. No futuro haverão exercícios com vários vetores, e você pode fazer isso com quantos quiser, é bem prático.
Agora vamos fazer uma cópia idêntica ali embaixo, só que com os vetores invertidos

"E como ficam os ângulos?" você me pergunta. É o seguinte: o ângulo de 25° acima de P continua ali. O ângulo oposto à hipotenusa R é 155° por associação, lei de Tales que mostrarei a vocês no próximo desenho. Já o último ângulo é desconhecido e teremos de descobrir, já que ele determina o sentido da resultante das forças.

Ok. Agora temos informação o suficiente para descobrir a força resultante, através da lei dos cossenos.

Certo? Temos que a intensidade da força resultante é de aproximadamente 97,72 Newtons. Resta-nos encontrar seu ângulo para definir seu sentido. Para isso, utilizarei-me da lei dos senos. Primeiro, redesenhando o triângulo com as variáveis pra ficar mais claro.

Tentei mostrar já direto as ligações mas não sei se ficou muito bom. No caso, na lei, o lado a estará relacionado com seu ângulo oposto A. O mesmo ocorre para b e B, e c e C. É uma relação que diz o seguinte: a divisão de a pelo seno de seu ângulo oposto será igual à divisão de b pelo seno de seu ângulo oposto, que também será igual à divisão de c pelo seno de seu ângulo oposto. Discurso grande, numa conta fica assim:

Simples, né? Você pode escolher tanto aA quanto cC, já que temos o valor e o ângulo de ambos. Escolheremos aA.

Temos que o seno de A é aproximadamente 0,259. Agora pegaremos nossa calculadora, de preferência científica; minto, essencialmente científica, e descobriremos o ângulo através do arco seno desse valor.

Ok, temos que o ângulo da resultante das forças acaba dando 15,13 graus. Só precisamos lembrar de mais uma coisa: mesmo o vetor mais baixo já está 20 graus acima de x. Temos então que o ângulo final é a soma de 15,13 com os 20 graus.
E o resultado final é 15,13+20 = 35,13°.

E está resolvido o primeiro exercício.


5. Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é uma força de 22,250N dirigida ao longo do eixo da barcaça:
a) determine a força de tração em cada um dos cabos, sabendo que o ângulo $\alpha$ = 45º.
b) o valor de $\alpha$ para o qual a tração do cabo 2 é mínima.

Ok. Soa mais complicado que o anterior e sim, é. Mas é só um pouquinho. Primeiro, vamos redesenhar o exercício com as informações que temos nos planos:

Bem... Temos poucas informações aí, né. Mas vamos aos exercícios em si.
A letra a) nos dá um ângulo de 45 graus e temos que nos virar com o resto. O que facilita muito porque, tendo dois ângulos, podemos descobrir o terceiro e fazer uma lei dos senos para descobrir tudo o que falta. Temos que o ângulo que falta precisa fechar 180 graus, então para descobri-lo é só fazer a operação 180-30-45 = 105.
Agora sabemos que o ângulo oposto ao 22,250N é de 105°, enquanto o oposto a F1 é 45° e o oposto a F2 é 30°. A lei dos senos total fica:

Isolando a primeira expressão com a expressão de F1, temos:

Agora F2:

Exercício a resolvido.

Agora vamos ao b), muito mais complicado... De entender, no caso. Depois que entendeu, é a mesma coisa. Aliás, vou mostrar um método puramente matemático porque é o que eu domino mais, se alguém se dispor a explicar aquele outro da perpendicularidade que o professor passou eu estou dispostíssimo a colocar aqui.
Mas é o seguinte, vamos lá. Observe a última imagem que eu coloquei do triângulo, com o ângulo $\alpha$ = 30°. Imagine que eu considere o terceiro ângulo, também desconhecido, na equação da lei dos senos como uma variável $\beta$. Na conta ficará mais claro, mas é o seguinte: não sabemos o valor de $\alpha$, mas temos um dos ângulos, e na lei dos senos ele está acima de F2. Pegaremos a parte F2 e a parte com 22,250N.

"Tá, e o que esse valor me diz?" Tudo! O seno de $\beta$ só pode ir de 0 a 1, sendo que quanto mais distante ele estiver de 1, maior será o resultado de F2. Queremos o mínimo. Logo, o seno de $\beta$ tem de ser igual a 1. Não precisamos nem fazer arco seno pra saber que, para que o valor de seno seja 1, o ângulo tem que ser de 90 graus. Logo, o ângulo oposto à resultante é de 90°.
De quebra, descobrimos que o valor de F2 é 11,125N.
Agora nos resta descobrir F1 e o ângulo $\alpha$. Temos um triângulo no mesmo formato do anterior, que totaliza 180°. Temos dois ângulos dos três, então só precisamos subtrai-los de 180. Com isso, descobrimos que $\alpha$ = 180-90-30 = 60°.
Essa é a resposta do exercício, mas só pra termos todos os resultados, F1 por lei é:

"Só" isso, galera. Aguardem porradas maiores próxima aula.
E um bom dia a todos!