Aula X - Mecânica dos Sólidos

Substitua o binário e a força mostrados na figura por uma força única equivalente aplicada à alavanca. Determine a distância do eixo ao ponto de aplicação dessa força equivalente.

 

I. Cálculo do momento produzido pela força F = 400N

Ok, o cálculo de momento é bem claro. Sendo r vetorial F a fórmula, e tendo a força facilmente decomposta em -400N na direção j (veja o ângulo de 90° pra baixo), só precisamos descobrir o r que nomearemos por questão de praticidade de OB.
Veja bem, temos uma hipotenusa OB de 0.3m e um cateto adjacente (OBx) de 0.15m. Para OBy, então, vamos fazer a relação de cateto oposto:
$$\sin{\theta} = \dfrac{\vec{OB}_y}{|\vec{OB}|} \\ \vec{OB}_y = |\vec{OB}| \sin{\theta} \\ \vec{OB}_y = 0.3m \sin{60°} \approx 0.26m$$
Logo:
$$\vec{OB} = (0.15m)\hat{i} + (0.26m)\hat{j}$$
Sendo o cálculo do momento o vetorial da distância r (no caso OB) com a força F, fazemos:
$$\vec{M} = \vec{OB} \times \vec{F} \\ = [(0.15m)\hat{i} + (0.26m)\hat{j}] \times [(-400N)\hat{j}] \\ =  [(0.15m)(-400N)]\hat{i} \times \hat{j} + [(0.26m)(-400N)]\hat{j} \times \hat{j} = \\ (-60Nm)\hat{k}$$

II. Cálculo do binário
Agora, ao cálculo do binário. Perceba o esquema da figura abaixo:

Vamos pegar com relação ao centro. O disco tem 60mm e, bem, temos que multiplicá-lo com as forças, que são iguais, e somar os resultados. O que significa que podemos resumir a expressão em:
$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \\ 2[(0.06m)\hat{j} \times (200N)\hat{i}] = \\ 2 * (-12Nm)\hat{k} = (-24Nm)\hat{k}$$

III. Soma dos momentos
Bem, autoexplicativo:
$$\vec{M}_R = (-60Nm)\hat{k} + (-24Nm)\hat{k} = (-84Nm)\hat{k}$$

IV. Cálculo do novo vetor posição de F = 400N
Agora é a hora de recalcular o vetor posição com essa consideração da soma dos momentos. Veja:
$$\vec{M}_A = \vec{OC} \times \vec{F}$$
Sendo OC a nova posição. Vamos substituir os valores:
$$(-84Nm)\hat{k} = [(OC \cos{60})\hat{i} + (OC \sin{60})\hat{j}] \times [(-400N)\hat{j}] \\ = [(OC \cos{60})(-400N)\hat{i} \times \hat{j}] + [(OC \sin{60})(-400N)\hat{j} \times \hat{j}] \\ = (-400N)(OC \cos{60})\hat{k}$$
Isolando OC:
$$OC = \dfrac{(-84Nm)}{(400N)\cos{60}} \approx 0.48m$$
E está resolvido o exercício.

Equilíbrio de corpos rígidos

Um guindaste fixo tem uma massa de 1000Kg e é usado para suspender um caixote de 2400Kg. O guindaste é mantido na posição indicada na figura por um pino A e um basculante B. O centro de gravidade do guindaste está localizado em G. Determine as componentes das reações em A e B.

(grato ao professor Renato por já disponibilizar uma imagem do exercício com o diagrama, facilita bastante... E acho que pro aprendizado é melhor assim. Ainda mais pra mostrar a importância do centro de gravidade na estrutura)

I. Cálculo de B

A condição de momento pro equilíbrio do corpo é:

$$\Sigma \vec{M}_i = 0$$

Sendo:

$$M = Fd$$

Somamos então todos os momentos do exercício e igualamos a zero:

$$B(1.5) - (9.81 \times 10^3)(2) - (23.5 \times 10^3)(6) = 0 \\ 1.5B = 19.62 \times 10^3 + 141 \times 10^3 \\ B = \dfrac{160.62}{1.5} \times 10^3 = 107.1kN$$

II. Cálculo de Ax

Outra das condições para que haja equilíbrio é:

$$\Sigma \vec{F} = 0$$

Sendo assim:

$$\Sigma \vec{F}_x = 0 \\ \Sigma \vec{F}_y = 0$$

Podemos usar a equação de x que pode ser resolvida agora com o valor de B:

$$A_x + B = 0 \\ A_x + 107.1kN = 0 \\ A_x = -107.1kN$$

III. Cálculo de Ay

Fazemos o mesmo para Ay agora:

$$A_y - 9.81 \times 10^3 - 23.5 \times 10^3 = 0 \\ A_y = 33.3kN$$

IV. Módulo de A

Teorema de Pitágoras basicão:

$$A^2 = A_x ^2 + A_y ^2 \\ A = \sqrt{(-107.1 \times 10^3)^2 + (33.3 \times 10^3)^2} = 112.2kN$$

V. Direção de A

$$\tan{\theta} = \dfrac{A_y}{A_x} = -0.31 \\ \theta = \tan^{-1}{-0.31} = -17.3°$$

Aula VIII - Mecânica dos Sólidos

Momento de uma força em relação a um eixo

Gráfico generalista:

É recomendável ver o desenho no seu tamanho original

Aonde:
d é a distância perpendicular de 0 até a linha de ação do vetor F.

$$\vec{M_0} = \vec{r} \times \vec{F} = |\vec{r}||\vec{F}| \sin{\theta}$$

Esse é o momento, ele é perpendicular ao plano que contém o ponto 0 e F, e é dado em Nm (Newtons-metro).

r é o vetor posição.
F é o vetor força.

Análise da figura

$$\sin{\theta} = \dfrac{d}{r} \\ d = r \sin{\theta} \\ |\vec{M_0}| = Fd$$

1. Uma força vetorial de 450N é aplicada na extremidade de uma alavanca que está ligada a um eixo O. Determine:

a) o momento da força de 450N em relação a O;

b) a força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento em relação a O;

c) a força mínima aplicada a A que gera o mesmo momento em relação a O;

d) a que distância do eixo deve estar uma força vertical de 1080N para gerar o mesmo momento em relação a O.

Ok, por onde começar... Seguinte. Não se assustem tanto com o gráfico acima todo 3D e tal, essa figura trabalha apenas em dois eixos, o que significa que só teremos x e y. Precisamos primeiro descobrir o momento dessa figura aí, crua, sem fazer nenhuma alteração. Lembrando que momento se dá em Newtons-metro, já vamos fazer a conversão necessária:

x = 60cm = 0.6m

Agora vamos trabalhar de fato. Vamos terminar uma linha de ação pra força de 450N e traçar uma reta perpendicular que sai do ponto O e vai até essa linha de ação. Assim:

Veja bem, a trigonometria básica nos diz que:
$$\cos{\theta} = \dfrac{CA}{h}$$

No caso, d é o cateto adjacente e a hipotenusa é 0.6m. O ângulo theta é 60°.

$$d = 0.6m * \cos{60°} = 0.3m$$

O momento se dá por Fd. Temos F, e agora temos d...

$$\vec{M_0} = 450N * 0.3m = 135Nm$$

Agora a letra B é o seguinte. Ela pede uma força horizontal em A que tenha o mesmo momento anterior, ou seja, M está determinado 135Nm.

O que vamos fazer é inverter a direção da força, que está no eixo y, para o eixo x. Ficará assim:

Agora é simples: é só fazer a mesma associação que fizemos pra A, pra B, pra descobrir o d. Depois jogar na fórmula pra descobrir o F. Primeiro, o gráfico fica bem assim:

A "descoberta" do ângulo tem que ser óbvia. Conhece-se o 60, pra fechar 90 falta 30. Bem, agora vamos fazer as contas para d, sabendo que ele é o cateto adjacente.

$$d = 0.6 \cos{30°} \approx 0.52m$$

E então jogar na equação do momento:

$$135Nm = F * 0.52m \\ F = \dfrac{135Nm}{0.52m} \approx 259.61N$$

Ótimo. Agora letra C: o F mínimo para que A gere o momento de 135Nm que descobrimos anteriormente. Vamos ver como é a equação da força nessa situação:

$$|\vec{M_0}| = Fd \\ F = \dfrac{|\vec{M_0}|}{d}$$

Se queremos a força mínima, matematicamente falando queremos o maior valor de d possível. Não é? Quanto maior o dividendo, menor o resultado, etc. Isso é fundamental. Temos que d se dá por uma relação trigonométrica (dependendo do ponto que você pegar, cosseno ou seno). Façamos a análise:

$$d = 0.6 \cos{\theta}$$

O cosseno de alguma coisa varia sempre de 0 a 1, não tem como sair disso. Então o valor mínimo para d é 0, e o valor máximo só pode ser 0.6 (0.6 vezes 1). Logo, o valor máximo que queremos pegar de d é esse 0.6. Jogando tudo na equação:

$$F = \dfrac{135Nm}{0.6m} = 225N$$

Por último, letra D. Essa é a mais fácil, junto com a primeira, porque não tem nenhuma análise a fazer exceto se você quiser bolar um gráfico bonitinho pra confirmar a teoria - vai dar certo, mecânica é mágica. Só sabemos que queremos o mesmo momento de sempre (135Nm) a uma força de 1080N. Então:

$$|\vec{M_0}| = Fd \\ d = \dfrac{|\vec{M_0}|}{F} = \dfrac{135Nm}{1080N} = 0.125m$$

Lembrando que o d é a perpendicular entre o ponto inicial e a linha de ação da força. Inclusive, para descobrir d em todos os outros exercícios, tivemos que pegar aquele x = 0.6m e multiplicar pelo cosseno de alguma coisa. Dessa vez será o oposto:

$$d = x \cos{\theta} \\ x = \dfrac{d}{\cos{\theta}} = \dfrac{0.125m}{0.5} = 0.25m$$

Essa é a distância pra você ter aquele momento aplicando a força de 1080N. E é só isso mesmo. Esse exercício é fundamental pros próximos de momento que vem por aí, que são bem mais pesados, então é bom que entendam bem esse.

Um bom dia a todos!

Aula IV - Mecânica dos Sólidos

Ontem tivemos uma aula um pouco mais razoavelmente difícil de mecânica, ainda girando completamente em torno de exercícios. No entanto, nada muito problemático. Tentarei explicar bem os exercícios aqui.

4. As duas forças P e Q atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante.

Ótimo. Aqui, ao contrário dos outros exercícios passados até agora, não conseguimos enxergar um triângulo retângulo formado pelos dois vetores. Aliás, são duas componentes que não estão retas nem no eixo x nem no y.
Primeiramente, usaremos o famoso elefantinho para ajudar na representação gráfica.

No caso, o que eu fiz aí foi o seguinte: coloquei a cauda do segundo vetor na ponta do primeiro e tracei uma reta que liga a cauda do primeiro à ponta do segundo. No futuro haverão exercícios com vários vetores, e você pode fazer isso com quantos quiser, é bem prático.
Agora vamos fazer uma cópia idêntica ali embaixo, só que com os vetores invertidos

"E como ficam os ângulos?" você me pergunta. É o seguinte: o ângulo de 25° acima de P continua ali. O ângulo oposto à hipotenusa R é 155° por associação, lei de Tales que mostrarei a vocês no próximo desenho. Já o último ângulo é desconhecido e teremos de descobrir, já que ele determina o sentido da resultante das forças.

Ok. Agora temos informação o suficiente para descobrir a força resultante, através da lei dos cossenos.

Certo? Temos que a intensidade da força resultante é de aproximadamente 97,72 Newtons. Resta-nos encontrar seu ângulo para definir seu sentido. Para isso, utilizarei-me da lei dos senos. Primeiro, redesenhando o triângulo com as variáveis pra ficar mais claro.

Tentei mostrar já direto as ligações mas não sei se ficou muito bom. No caso, na lei, o lado a estará relacionado com seu ângulo oposto A. O mesmo ocorre para b e B, e c e C. É uma relação que diz o seguinte: a divisão de a pelo seno de seu ângulo oposto será igual à divisão de b pelo seno de seu ângulo oposto, que também será igual à divisão de c pelo seno de seu ângulo oposto. Discurso grande, numa conta fica assim:

Simples, né? Você pode escolher tanto aA quanto cC, já que temos o valor e o ângulo de ambos. Escolheremos aA.

Temos que o seno de A é aproximadamente 0,259. Agora pegaremos nossa calculadora, de preferência científica; minto, essencialmente científica, e descobriremos o ângulo através do arco seno desse valor.

Ok, temos que o ângulo da resultante das forças acaba dando 15,13 graus. Só precisamos lembrar de mais uma coisa: mesmo o vetor mais baixo já está 20 graus acima de x. Temos então que o ângulo final é a soma de 15,13 com os 20 graus.
E o resultado final é 15,13+20 = 35,13°.

E está resolvido o primeiro exercício.


5. Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é uma força de 22,250N dirigida ao longo do eixo da barcaça:
a) determine a força de tração em cada um dos cabos, sabendo que o ângulo $\alpha$ = 45º.
b) o valor de $\alpha$ para o qual a tração do cabo 2 é mínima.

Ok. Soa mais complicado que o anterior e sim, é. Mas é só um pouquinho. Primeiro, vamos redesenhar o exercício com as informações que temos nos planos:

Bem... Temos poucas informações aí, né. Mas vamos aos exercícios em si.
A letra a) nos dá um ângulo de 45 graus e temos que nos virar com o resto. O que facilita muito porque, tendo dois ângulos, podemos descobrir o terceiro e fazer uma lei dos senos para descobrir tudo o que falta. Temos que o ângulo que falta precisa fechar 180 graus, então para descobri-lo é só fazer a operação 180-30-45 = 105.
Agora sabemos que o ângulo oposto ao 22,250N é de 105°, enquanto o oposto a F1 é 45° e o oposto a F2 é 30°. A lei dos senos total fica:

Isolando a primeira expressão com a expressão de F1, temos:

Agora F2:

Exercício a resolvido.

Agora vamos ao b), muito mais complicado... De entender, no caso. Depois que entendeu, é a mesma coisa. Aliás, vou mostrar um método puramente matemático porque é o que eu domino mais, se alguém se dispor a explicar aquele outro da perpendicularidade que o professor passou eu estou dispostíssimo a colocar aqui.
Mas é o seguinte, vamos lá. Observe a última imagem que eu coloquei do triângulo, com o ângulo $\alpha$ = 30°. Imagine que eu considere o terceiro ângulo, também desconhecido, na equação da lei dos senos como uma variável $\beta$. Na conta ficará mais claro, mas é o seguinte: não sabemos o valor de $\alpha$, mas temos um dos ângulos, e na lei dos senos ele está acima de F2. Pegaremos a parte F2 e a parte com 22,250N.

"Tá, e o que esse valor me diz?" Tudo! O seno de $\beta$ só pode ir de 0 a 1, sendo que quanto mais distante ele estiver de 1, maior será o resultado de F2. Queremos o mínimo. Logo, o seno de $\beta$ tem de ser igual a 1. Não precisamos nem fazer arco seno pra saber que, para que o valor de seno seja 1, o ângulo tem que ser de 90 graus. Logo, o ângulo oposto à resultante é de 90°.
De quebra, descobrimos que o valor de F2 é 11,125N.
Agora nos resta descobrir F1 e o ângulo $\alpha$. Temos um triângulo no mesmo formato do anterior, que totaliza 180°. Temos dois ângulos dos três, então só precisamos subtrai-los de 180. Com isso, descobrimos que $\alpha$ = 180-90-30 = 60°.
Essa é a resposta do exercício, mas só pra termos todos os resultados, F1 por lei é:

"Só" isso, galera. Aguardem porradas maiores próxima aula.
E um bom dia a todos!