Aula XI - Física Geral II

Temos aí que a força magnética age de uma maneira semelhante à força centrípeta no movimento circular uniforme. Lembrando a força centrípeta:
$$F_C = \dfrac{mV^2}{r}$$
A fórmula da força no campo magnético é:
$$F_B = qV \times B = qVB \sin{\theta}$$
E note que o ângulo entre o V e o B nesse campo circular será de 90°, então substituindo o theta temos:
$$F_B = qVB$$
Igualamos os dois lados:
$$qVB = \dfrac{mV^2}{r} \\ qB = \dfrac{mV}{r} \\ r = \dfrac{mV}{qB} \\ V = \dfrac{qBr}{m}$$
Temos também a fórmula da velocidade angular:
$$\omega = \dfrac{V}{r} = \dfrac{qBr}{rm} = \dfrac{qB}{m}$$
A frequência é:
$$\mu = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{qB}{2 \pi m}$$
Sendo o período o inverso da frequência:
$$T = \dfrac{1}{\mu} = \dfrac{2 \pi m}{qB}$$

Lei de Ampére

$$\oint \vec{B} \bullet d\vec{l} = \mu_0 i$$


Vemos que:
$$\vec{B} \bullet d\vec{l} = Bdl \cos{\theta}$$
Sendo o ângulo entre dl e a direção do campo B 0:
$$\vec{B} \bullet d\vec{l} = Bdl$$
$$B \oint dl = \mu_0 i \\ B(2 \pi r) = \mu_0 i \\ B = \dfrac{\mu_0 i}{2 \pi r}$$

Interação entre dois condutores paralelos

Queremos descobrir qual é a influência do campo gerado pela corrente A no campo B. Lembrando que a fórmula da força magnética com relação à corrente é:
$$\vec{F}_B = i \vec{l} \times \vec{B} = ilB \sin{\theta}$$
A relação de ângulo permanece a mesma do primeiro exemplo, antes da lei de Ampére. A corrente vai para um lado, faz-se a regra da mão direita e descobre-se um ângulo de 90° de diferença em um outro eixo. Ficando assim a fórmula (já colocando as legendas bonitinho pra indicar qual é de B, e qual é de A):
$$\vec{F}_B = i_B l_B B_A$$
Note que o B (campo magnético uniforme) considerado é de A, não de B. Usando a outra fórmula que conhecemos recentemente:
$$\vec{F}_B = i_B l_B \dfrac{\mu_0 i_A}{2 \pi r}$$
Sendo r = d:
$$\vec{F}_B = \dfrac{l_B i_B i_A \mu_0}{2 \pi d}$$

Exercício:
1. Um elétron de 10eV gira num plano perpendicular a um campo magnético uniforme B. Qual o raio da órbita no ciclotron?
$$K = 10eV = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 16 \times 10^{-19} J \\ m = 9.1 \times 10^{-31} Kg \\ B = 1 \times 10^{-4}T$$
Queremos saber do raio, e para isso lembremos da fórmula que acabamos de aprender a respeito de força magnética centrípeta:
$$r = \dfrac{mV}{qB}$$
Para a velocidade, temos uma resolução realmente semelhante ao exercício da aula passada. Se temos a energia em Joules e temos massa, podemos fazer a relação raiz de 2K/m para a velocidade. O resto temos os valores dados:
$$V = \sqrt{\dfrac{2K}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1.6 \times 10^{19}J}{9.1 \times 10^{-31}Kg}} = \sqrt{\dfrac{32 \times 10^{12}J}{9.1Kg}} = \sqrt{3.55 \times 10^{12} Kg m^2/Kg s^2} \\ = 1.88 \times 10^6 m/s$$
Jogando na fórmula:
$$r = \dfrac{(9.1 \times 10^{-31}Kg) \times (1.88 \times 10^6 m/s)}{(1.6 \times 10^{-19}C) \times (1 \times 10^{-4} T)} = \dfrac{17.108 \times 10^{25} Kg m}{1.6 \times 10^{-23} Cs (Kg/Cs)} \\ = 10.6925 \times 10^{-2} (Kg m Cs / Kgs) = 10.6925 \times 10^{-2} m = 10.6925cm$$
O professor aproximou o resultado para 11cm. A parte mais difícil dessa equação, talvez, seja a conversão de medidas na parte do Tesla para quilogramas por carga-segundo... Mas é matemática básica, só usar.

Matéria rápida, mas capaz de complicar bastante... Boa sorte a todos, e um bom dia!

Aula X - Física Geral II

Força magnética

1. Um fio retilíneo reto feito de cobre é percorrido por uma corrente i = 28A. Determine o módulo e a orientação do menor B capaz de manter este fio suspenso no ar. A massa específica linear (m/L) do cobre é 46.6g/m.

Esse exercício é bem simples. Veja bem, vamos começar com as deduções mais óbvias. Primeiro, a equação da força do campo magnético utilizando uma corrente:

$$F_\vec{B} = i \vec{L} \times \vec{B}$$

Por umas manipulações trigonométricas simples, sabemos automaticamente que isso é igual a:

$$F_\vec{B} = i|\vec{L}||\vec{B}| \sin{\theta}$$

Queremos esse B. Disso daí, o exercício nos dá a corrente (i) e só. Mas o exercício nos conta outra coisa já de início: ele quer manter o fio suspenso no ar, o que indica que a força do campo magnético tem que ser, no mínimo, igual a força da gravidade. A força da gravidade é bem óbvia:

$$F_g = mg$$

Podemos então igualar as duas forças:

$$mg = i |\vec{L}||\vec{B}|\sin{\theta}$$

O exercício nos dá um valor de m/L, então podemos manipular a equação para que haja m/L:

$$\dfrac{m}{L}g = i|\vec{B}|\sin{\theta}$$

Ótimo, mas compensa ainda mais isolar tudo o que temos e deixar apenas o B:

$$|\vec{B}| = \dfrac{m}{L}g * \dfrac{1}{i \sin{\theta}}$$

A última consideração a se fazer é o ângulo theta. O método mais óbvio (e arriscado) de descobri-lo é lembrar que a direção da força da gravidade é 90 graus para baixo, ou 270 graus; a força do campo magnético tem que ser oposta a isso, logo, 90 graus positivos.

O método menos óbvio (em especial pra quem tem dedo zoado de tanto digitar (muito comum pra computação)), e que funciona pra qualquer ocasião, é usar a "regra da mão direita". Desenhando:

Veja que isso forma um ângulo de 90°. Bem, agora podemos jogar os valores que queremos na equação. Sempre lembrem de, no caso, converter gramas para quilogramas para poder fazer uma conversão eficaz da medida dada para Tesla (T).

$$|\vec{B}| = 46.6g/m * 9.81m/s^2 * \dfrac{1}{28A * \sin{90}} = \dfrac{457.146*10^{-3}Kg/s^2}{28A} \approx 16.327*10^{-3}Kg/As^2$$

A conversão de medidas é uma boa pegadinha também. Lembrando que a corrente é a carga por segundo, então substituindo:

$$|\vec{B}| = 16.327*10^{-3}Kg/(C/s)s^2 = 16.327*10^{-3}Kg/Cs = 16.327*10^{-3}T$$

Resolvido.

2. Calcule a força do campo magnético total no fio:

Esse exercício já é uma delícia. Como foram dados apenas valores variáveis, utilizadas serão apenas variáveis. Temos três pontos diferentes no fio, dois retos e um que tem o formato de uma semicircunferência. Os retos não vão nos dar problema, o que vai é o outro, claro - mas antes, lembremos que a força total nesse ponto que queremos está dependendo dos três pedaços... Logo, é a soma dos três.

Já vamos expressar isso numa equação:

$$F = F_1 + F_2 + F_3$$

Vamos resolver as forças simples para resolver o problemão e terminar o exercício, ao invés de resolver o problemão e depois ficar se preocupando com coisa menor.

$$F_1 = F_3$$

A direção do campo pela mesma lógica do exercício passado acaba sendo 90 graus também. Colocando na fórmula do campo magnético para a corrente:

$$F_1 = i|\vec{L}||\vec{B}| \sin{90} = i |\vec{L}||\vec{B}|$$

Logo, já vamos colocar na equação final:

$$F = i |\vec{L}||\vec{B}| + F_2 + i |\vec{L}||\vec{B}|$$

Mas vamos prestar atenção no F2.

Não me recordo se num desenho original fica assim. O campo magnético se comporta de uma maneira mais complexa que isso. Mas o que quero dizer nesse desenho é: no ponto central, uma linha de campo vai contra a outra na direção x enquanto a y funciona normalmente; se as forças em x se anula, não há componente x na força desse campo magnético, representando numa equação:

$$F_2 = F_{2x} + F_{2y} = F_{2y}$$

Jogando isso na equação:

$$F = iLB \sin{\theta}$$

Agora vem a parte complicada: precisamos do comprimento da corrente, mas da maneira que está não facilita muito. Pegaremos um elemento infinitesimal de l (dl) e, claro, cada elemento dL tem uma força dF diferente com relação ao campo:

Substituindo os termos:

$$dF = i(dL)B \sin{\theta}$$

Através de trigonometria - equação de arco de circunferência, não sei ao certo se compensa explicar mas o livro Cálculo Com Geometria Analítica do Louis Leithold, volume 2, o capítulo antes de derivadas parciais que cuida da geometria analítica e de cálculo vetorial básico lida bem com isso - podemos jogar no lugar de dL o seguinte termo:

$$dF =  iB \sin{\theta} (R d\theta)$$
Não vou explicar todo o procedimento, mas faça ao menos a relação básica: lembre de coordenadas polares, aonde dxdy era substituído por rdrd0 e note que o dL foi substituído por rd0. Bem, dL é um pedaço do arco, então só está em um eixo.
De qualquer forma, o arco todo dá uma volta de 180°, logo um pi. Então já sabemos os limites. Vamos integrar:
$$\int dF = \int^{\pi}_0 iB \sin{\theta} Rd\theta = iBR [-\cos{\theta}] = iBR [-\cos{\pi} - (-\cos{0})] \\ = iBR [-\cos{\pi} + \cos{0}] = iBR [-(-1) + 1] = 2iBR$$
Note que não está nada em módulo, mas presumamos que já está. É mais fácil. É só somar as três forças agora:
$$F = F_1 + F_2 + F_3 = iLB + 2iBR + iLB = 2iLB + 2iBR = 2iB (R + L)$$
E está respondido o exercício. Como não tem valor nenhum, a resposta é a equação final.

3. Um campo B de módulo 1.5T aponta horizontalmente de leste para oeste. Qual o valor da força que atuará sobre um próton de 5MeV que atravessará esse campo verticalmente de cima para baixo?

Esse exercício é o mais fácil dos três. O problema é: se trata de medidas que já até esquecemos, mas precisamos estar sendo lembrados direto. No caso, MeV. Um elétron-Volt equivale a 1.602 vezes 10 a -19 Joules (J).
Temos as seguintes expressões, também:
$$q = 1.6*10^{-19}C \\ m = 1.7*10^{-27}Kg \\ E_K = 5MeV = 5*10^6 eV = 5*1.6*10^6*10^{-19}J = 8*10^{-13}J $$
Vamos usar um pouco elas, então:
$$F = q|V||B| \sin{\theta} = 1.6*10^{-19}C * V * 1.5T$$
Sendo V a velocidade, temos a seguinte expressão na mecânica newtoniana para a energia cinética:
$$E_K = \dfrac{1}{2} mv^2$$
Temos a energia cinética E (em Joules, ou MeV), temos a massa m, mas não temos a velocidade que é o que queremos para a equação da força do campo magnético. Então:
$$v^2 = \dfrac{2E_K}{m} \\ v = \sqrt{\dfrac{2E_K}{m}}$$
Só jogar os valores na equação agora. Só lembrando que um Joule equivale a um Newton-metro (Nm), e um Newton equivale a um quilograma-metro por segundo ao quadrado (Kg m/s²); logo, um Joule equivale a um quilograma-metro quadrado por segundo ao quadrado (Kg m²/s²). Substituindo essa porrada de expressões:
$$v = \sqrt{\dfrac{2*8*10^{-13}Kg*m^2}{1.7*10^{-27}Kg*s^2}} = \sqrt{\dfrac{16*10^{-13}m^2}{1.7*10^{-27}s^2}} = \sqrt{9.41*10^14 m^2/s^2} \approx 3.07m/s$$
Vê que mágico? As medidas todas batem. Agora só jogar isso na equação final:
$$F = 2.4*10^{-19}CT * 3.07m/s = 7.368 CTm/s$$
Um tesla equivale a um quilograma por Coulomb-segundo, substituindo:
$$F = 7.368 C*(\dfrac{Kg}{Cs})*(\dfrac{m}{s}) = 7.368 \dfrac{CKgm}{Cs^2} = 7.368Kg m/s^2 = 7.368N$$
E creio eu que está respondido o exercício, mas não tenho um gabarito aqui pra conferir se estou falando certo ou se fiz asneira em algum ponto. Bem, ao menos as medidas batem... Espero estar, de fato, certo. Como acho muito necessário entender essa matéria, já posto direto mesmo assim e depois confirmo, nem que for pelos outros dois exercícios.
Esse é bom pra treinar as fórmulas antigas de física que pareciam não servir pra nada, mas podem chegar a nos atormentar pro resto da vida. Se temos velocidade, temos mecânica fundamental, então não podemos mesmo esquecer de nada.

De qualquer forma, está aí. Bom dia a todos!